楕円曲線と保型形式に関する計算機数論的問題の研究

椭圆曲线和自守形式的计算数论问题研究

• 批准号: 12J00652
• 负责人: 横山 俊一
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J00652/
• 关键词: 楕円曲線; 保型形式; 局所体; 数式処理; Mordell-Weil群; Eisenstein多項式; Galois群

本研究課題において、申請者は計算機数論における「良いデータベースの生成と提供」を目的として、2種類の話題について研究を行った:1、代数体上至る所良い還元を持つ楕円曲線のデータベース化:本研究は、現代数論において重要視されている「保型性」を観察することに動機を持ち、幾つかの重要な保型形式との対応が示唆されている。これにより具体的な計算例を組織的に得たデータベースの生成・提供が望まれている。今年は実二次体上至る所良い還元を持つ楕円曲線の存在・非存在を示した従来のデータベースを大幅に更新(23ケース)、更に基礎体を実三次体に引き上げた場合についても研究を行い、既存のBertolini-Canutoによる1988年の結果(1ケースのみの非存在性)を大幅に更新した(18ケース)。またこの過程において、類数1の純三次体上至る所良い還元を持つ楕円曲線で非自明に構成されるものを初めて提唱した。本研究においては数式処理システムを併用し、Mordell-Weil群の計算を数式処理の道具を用いて高速実装することで、通常計算不可能な例を提示することに成功している。2、局所体の高速生成アルゴリズムの作成とデータベース化:本研究は、局所体のGalois群の高速・効率計算を一つの目標として行われたものである。今年は局所体生成プログラムを高次の場合にも耐えうるよう改良を図った。具体的にはp進体上1)p次拡大,2)完全分岐アーベル拡大,3)低次アーベル拡大の3種類(但しPは奇素数)の拡大体の高速生成アルゴリズムとその実装を与えた。更に1)に関してはp次Eisenstein多項式が定義する拡大体の同型判定アルゴリズムを実装と共に与えた。これは従来広く用いられていたroot countingアルゴリズムを用いた場合と比較して大幅な高速化に成功している(吉田学氏との共同研究)。

在该研究主题中，申请人对两种类型的主题进行了研究，目的是“生成和提供一个良好的数据库”计算机编号理论：1。椭圆形曲线的数据库化，跨代数领域的椭圆形曲线有良好的降低：该研究的促使“类型的腐烂”，在现代数字理论中观察到重要的形式，这在现代数字中很重要，表明具有多种类型类型类型的形式。结果，希望生成并提供一个组织特定计算示例的数据库。今年，我们已经大大更新了常规数据库（23例），该数据库的存在和缺失，椭圆曲线的存在，到处都有良好的减少，并且对将基本机构提高到实际的第三级机构的案例进行了研究，从而显着更新了1988年的结果（仅Bertolini-canuto（18案例））。在此过程中，我们首次提出，椭圆形曲线无处不在，全部在纯三级体内，都是无处不在的。在这项研究中，我们成功地提出了通常通过使用数学处理工具在高速下以高速计算的数学处理系统与Mordell-Weil组的计算相结合的示例。 2。针​​对本地物体的创建和数据库化算法：这项研究是针对Galois组快速有效地计算的，是一个目标。今年，我们改善了当地的身体生成计划，以承受更高水平的情况。具体来说，我们为三种类型的放大场提供了快速生成算法（其中P是奇数）：1）P级扩展，2）全枝ABEL扩展，3）低阶Abel膨胀及其实现。此外，关于1），给出了由P阶Eisenstein多项式定义的同构算法的算法。与使用过去广泛使用的根计数算法相比，这在加速方面取得了重大成功（与Yoshida Manabu的协作研究）。

项目成果

A database project of elliptic curves having everywhere good reduction

处处良好还原的椭圆曲线数据库项目

• 发表时间: 2012
• 作者: 白木琢磨;和久剛;森川耿右;構大樹;構 大樹;Shun'ichi Yokoyama
• 通讯作者: Shun'ichi Yokoyama