保型形式とスペクトル解析

自守形式和谱分析

基本信息

批准号：
18J20157
负责人：
甘中一輝
金额：
$ 1.41万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

符号数 (p,q) の非退化対称双線形テンソルを有する可微分多様体を擬リーマン多様体と呼ぶ。特に負の符号数 qが 0 の時リーマン多様体、 1 の時ローレンツ多様体と呼ばれる。リーマン多様体の場合と同様に擬リーマン多様体にはラプラシアンと呼ばれる二階の微分作用素が定義される。リーマン多様体のラプラシアンは楕円型微分作用素であるが、ローレンツ多様体のラプラシアンは楕円型ではなく双曲型微分作用素であり、その固有値分布の定性的性質は多様体がコンパクトである場合、一般論としてはほとんど知られていない。小林俊行氏は擬リーマン局所半単純対称空間において、ラプラシアンを含む「内在的な」微分作用素を用いた大域解析の研究を創始し、同氏はFanny Kassel 氏との共同研究でいくつかの基本的結果を与えた。例えばある特別な擬リーマン局所半単純対称空間に対してラプラシアンの安定固有値を無限個発見した。擬リーマン局所半単純対称空間の中でも、断面曲率が -1 の定曲率ローレンツ多様体は反ド・ジッター多様体と呼ばれる。特に 3 次元の場合、豊富な大域構造が知られている。3 次元の反ド・ジッター多様体の新たな大域的性質について得られた結果（発表論文1,2）を博士論文としてまとめた。発表論文1では、4つの実数列からリー群 SO(2,2) の無限生成の部分群を構成し、その反ド・ジッター空間SO(2,2)/SO(2,1) への作用の固有不連続性・強不連続性の判定法を各数列の漸近挙動を用いて与えた。さらにその一つの帰結として、数え上げの増大度が任意に大きくなる様な不連続群を構成した。発表論文2ではコンパクト反ド・ジッター多様体のラプラシアンの離散スペクトラムの重複度について考察した。自然数 m が大きくなればなるほど、固有値として 4m(m-1) を持つ固有関数が無限に多く構成でき、さらにその構成は反ド・ジッター構造の変形に関して安定的である事を証明した。

具有符号数 (p,q) 的非简并对称双线性张量的可微流形称为伪黎曼流形。特别地，当负号q为0时，称为黎曼簇，为1时，称为洛伦兹簇。与黎曼簇的情况一样，为伪黎曼簇定义了称为拉普拉斯算子的二阶微分算子。黎曼流形的拉普拉斯算子是椭圆微分算子，但洛伦兹流形的拉普拉斯算子不是椭圆而是双曲微分算子，并且如果流形是紧的，则其特征值分布的定性性质可以推广为鲜为人知的。。 Toshiyuki Kobayashi 发起了在拟黎曼局部半简单对称空间中使用“本征”微分算子（包括拉普拉斯算子）进行全局分析的研究，并在与 Fanny Kassel 的联合研究中取得了一些基本成果。例如，我们发现了特殊的拟黎曼局部半简单对称空间的拉普拉斯算子的无限多个稳定特征值。在拟黎曼局部半单对称空间中，截面曲率为-1的常曲率洛伦兹流形称为反德西特流形。特别是在三维情况下，已知有丰富多样的全局结构。关于三维反德西特流形的新全局性质所获得的结果（已发表的论文 1 和 2）被总结为博士论文。在论文1中，我们从四个实数序列构造了李群SO(2,2)的无限生成子群，并研究了它在反德西特空间SO(2,2)/SO(2,1)上的作用。给出了利用每个序列的渐近行为来确定的固有不连续性和强不连续性的方法。此外，结果，我们构造了一个不连续的群，其中枚举的增加程度变得任意大。在论文2中，我们考虑了紧致反德西特流形的拉普拉斯算子的离散谱的重叠程度。证明了随着自然数m变大，可以构造无限多个4m(m-1)的特征函数作为特征值，并且该构造相对于反德西特结构的变形是稳定的。