解析数論、特に有理近似

解析数论，特别是有理逼近

• 批准号: 11J00168
• 负责人: 金子 元
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Nihon University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J00168/
• 关键词: 有理近似; 代数的数; 小数部分; 等比数列; 一様分布論; 正規数; 加法数論; 組み合わせ論; β展開; ベキ級数; 代数的独立性; 集積点; 代数的独立

本研究の目標は、代数的数の近似に関する性質を研究する事である。昨年度までの研究では、Pisot数やSalem数という特殊な代数的整数の近似に関する性質を、ベータ展開という数系を通じて調べた。本年度の研究では、Pisot数やSalem数とは限らない代数的整数について、近似の性質を考察した。数の近似の性質を調べるために、等比数列の小数部分が用いられる。小数部分とは、数と近似整数の誤差であるため、これを調べる事は重要である。例えば、Pisot数の近似に関する性質が、Pisot数を公比にもつ等比数列の小数部分に反映される。等比数列の小数部分が、一様分布するための条件を求めることは重要な未解決問題である。例えば、公比が2以上の整数bである場合を考える。この場合、等比数列の小数部分が一様分布するための必要十分条件は、初項がb進展開において正規数となることである。正規数であるための条件を求めることは、暗号理論などにも応用があるため、重要である。本研究では、公比が必ずしも整数ではない等比数列の小数部分がいつ一様分布をするかについて考察した。これは、正規数に関する問題の一般化ともいえる。本年度は、組み合わせ論を用いた手法により、小数部分を解析し、一様分布性に関する部分的な結果を得ることができた。本研究で得られた結果を現在謙文にまとめ、投稿予定である。また昨年度は、Pisot数やSalem数の近似に関して得られた性質を、超越数論へ応用した。ベキ級数にPisot数やSalem数を代入した値について、超越性の判定法を構成した。本年度は、研究を発展させることにより、これらの値について、代数的独立性の判定法を構成した。与えられた超越数の代数的独立性を示す事は重要である。代数的独立性に関する研究成果についても、現在論文にまとめ、投稿予定である。

这项研究的目的是研究近似代数数的特性。直到去年，研究通过称为Beta扩展的数值系统来研究近似特殊代数整数（例如PISOT数字和Salem数字）的特性。今年的研究检查了代数整数不一定是PISOT或SALEM数字的近似值的属性。等距序列的分数部分用于检查数字近似值的属性。分数部分是数字和近似整数之间的误差，因此检查它很重要。例如，PISOT数的近似值反映在等距序列的分数部分中，将PISOT数作为其正常比。找到等距序列的分数部分均匀分布的条件是一个重要的未解决问题。例如，考虑一种正常比为2个或以上的整数B的情况。在这种情况下，均匀分布的等距序列的小数部分的必要条件是，第一项成为B添加的扩展中的正常数。找到正常数的条件很重要，因为它可以应用于密码学理论等。在这项研究中，我们检查了等距序列的分数部分，其正常比不一定是整数均匀分布的。这也可以说是关于正常数量的问题的概括。今年，我们能够使用组合理论使用方法分析分数部分，以获得有关均匀分布的部分结果。目前从本研究中获得的结果均以谦虚的句子汇编，并计划提交。此外，去年，我们应用了有关PISOT和SALEM数字的近似值获得的属性。确定超越性的方法是针对将PISOT和SALEM数字分配到功率系列的值的。今年，通过开发研究，我们构建了一种确定这些值代数独立性的方法。重要的是要显示给定的先验数字的代数独立性。目前，关于代数独立性的研究结果也正在汇编和提交。

项目成果

On the fractional parts of powers of algebraic numbers

关于代数数幂的小数部分

• 期刊: RIMS Kokyuroku Bessatsuに掲載予定
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;野上潤一;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the transcendental degrees of the fields generated by special values of power series

论幂级数特殊值产生的场的超越度

• 发表时间: 2012
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元
• 通讯作者: 金子元

Transcendental results related to the baseb expansions of real numbers

与实数基布展开相关的超越结果

• 发表时间: 2012
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;野上潤一;金子元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;金子 元;金子 元;金子 元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;Akihito Konishi;金子元;Akihito Konishi;小西 彬仁;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the b-ary expansions of algebraic irrational numbers

关于代数无理数的 b 进制展开式

• 发表时间: 2011
• 期刊: AIP Conference Proceedings
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元
• 通讯作者: 金子元

Algebraic Independence of special Values of Power Series

幂级数特殊值的代数独立性

• 发表时间: 2012
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;野上潤一;金子元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;金子 元;金子 元;金子 元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;Akihito Konishi;金子元;Akihito Konishi;小西 彬仁;金子元;小西 彬仁;金子元;小西 彬仁;金子元;小西 彬仁;金子元;小西彬仁;金子元
• 通讯作者: 金子元