解析数論、特に有理近似

解析数论，特别是有理逼近

• 批准号: 11J00168
• 负责人: 金子 元
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Nihon University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J00168/
• 关键词: 有理近似; 代数的数; 小数部分; 等比数列; 一様分布論; 正規数; 加法数論; 組み合わせ論; β展開; ベキ級数; 代数的独立性; 集積点; 代数的独立

本研究の目標は、代数的数の近似に関する性質を研究する事である。昨年度までの研究では、Pisot数やSalem数という特殊な代数的整数の近似に関する性質を、ベータ展開という数系を通じて調べた。本年度の研究では、Pisot数やSalem数とは限らない代数的整数について、近似の性質を考察した。数の近似の性質を調べるために、等比数列の小数部分が用いられる。小数部分とは、数と近似整数の誤差であるため、これを調べる事は重要である。例えば、Pisot数の近似に関する性質が、Pisot数を公比にもつ等比数列の小数部分に反映される。等比数列の小数部分が、一様分布するための条件を求めることは重要な未解決問題である。例えば、公比が2以上の整数bである場合を考える。この場合、等比数列の小数部分が一様分布するための必要十分条件は、初項がb進展開において正規数となることである。正規数であるための条件を求めることは、暗号理論などにも応用があるため、重要である。本研究では、公比が必ずしも整数ではない等比数列の小数部分がいつ一様分布をするかについて考察した。これは、正規数に関する問題の一般化ともいえる。本年度は、組み合わせ論を用いた手法により、小数部分を解析し、一様分布性に関する部分的な結果を得ることができた。本研究で得られた結果を現在謙文にまとめ、投稿予定である。また昨年度は、Pisot数やSalem数の近似に関して得られた性質を、超越数論へ応用した。ベキ級数にPisot数やSalem数を代入した値について、超越性の判定法を構成した。本年度は、研究を発展させることにより、これらの値について、代数的独立性の判定法を構成した。与えられた超越数の代数的独立性を示す事は重要である。代数的独立性に関する研究成果についても、現在論文にまとめ、投稿予定である。

本研究的目的是研究代数数近似的性质。在去年之前的研究中，我通过称为贝塔展开的数字系统研究了特殊代数整数（例如皮索数和塞勒姆数）的近似性质。在今年的研究中，我们考虑了代数整数的近似性质，不仅限于皮索数和塞勒姆数。几何级数的小数部分用于研究数字近似的性质。小数部分是数字和近似整数之间的误差，因此研究这一点很重要。例如，皮索数的近似性质反映在以皮索数作为公比的等比级数的小数部分中。寻找等比级数小数部分均匀分布的条件是一个尚未解决的重要问题。例如，考虑公比是大于或等于2的整数b的情况。此时，等比级数小数部分均匀分布的充要条件是第一项成为b进数展开式中的正规数。找到正常数的条件很重要，因为它在密码学理论等中有应用。在本研究中，我们考虑了等比级数的小数部分（其公比不一定是整数）何时具有均匀分布。这可以说是与正规数相关的问题的概括。今年，我们能够使用组合学的方法来分析小数部分，并获得有关均匀分布的部分结果。我们目前正在总结这项研究获得的结果并计划提交。此外，去年，我们将皮索数和塞勒姆数近似所获得的性质应用于超越数论。我们构建了一种确定将皮索数和塞勒姆数代入幂级数所获得的值的超越性的方法。今年，通过开展研究，我们构建了一种确定这些值的代数独立性的方法。显示给定超越数的代数独立性非常重要。关于代数独立性的研究成果目前正在总结成一篇论文并计划提交。

项目成果

Transcendental results related to the baseb expansions of real numbers

与实数基布展开相关的超越结果

• 发表时间: 2012
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;野上潤一;金子元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;金子 元;金子 元;金子 元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;Akihito Konishi;金子元;Akihito Konishi;小西 彬仁;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the fractional parts of powers of algebraic numbers

关于代数数幂的小数部分

• 期刊: RIMS Kokyuroku Bessatsuに掲載予定
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;野上潤一;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the b-ary expansions of algebraic irrational numbers

关于代数无理数的 b 进制展开式

• 发表时间: 2011
• 期刊: AIP Conference Proceedings
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the transcendental degrees of the fields generated by special values of power series

论幂级数特殊值产生的场的超越度

• 发表时间: 2012
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元
• 通讯作者: 金子元

Algebraic Independence of special Values of Power Series

幂级数特殊值的代数独立性

• 发表时间: 2012
• 作者: Shimizu. S.. Wheeler;MA.;Liu;J.;Saito;M.;Weiss;RM and Hittelman;BA;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;貝田真紀;金子元;野上潤一;金子元;貝田真紀;野上潤一;金子元;野上潤一;金子元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;野上潤一;金子 元;金子 元;金子 元;金子 元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;Akihito Konishi;金子元;Akihito Konishi;小西 彬仁;金子元;小西 彬仁;金子元;小西 彬仁;金子元;小西 彬仁;金子元;小西彬仁;金子元
• 通讯作者: 金子元