ディオファンタス近似、特に線型回帰数列の小数部分について

丢番图近似，尤其是线性回归序列的小数部分

• 批准号: 09J01325
• 负责人: 金子 元
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J01325/
• 关键词: 代数的数; 正規数; 一様分布論; 小数部分; 等比数列; 極限点; 数系; Mahler関数; 有理近似; 超越数; 代数的独立

本年度は、実数のb進展開に現れるdigitを解析した。特に、代数的無理数のb進展開において、digitが均等に現れるというBorelの予想の解決に向けた研究を行った。代数的無理数のb進展開におけるdigitを調べることで、代数的無理数の数論的性質を解析することにより、整数論への応用が期待される。Borelの予想の具体例として√2など、代数的無理数の2進展開では、digitである0と1が同じ割合で現れると数値実験から予想されている。しかし、実際にdigitの均等性が証明されている代数的無理数は存在せず、この予想は解決には程遠い。そこで、Bugeaudは予想の解決に向けて、b進展開におけるdigit変化数を研究することを提案した。なぜならばdigit変化数が多いことを証明できれば、digitの均等性の証拠になるからである。BugeaudとEvertseは有理近似の方法を用いてdigit変化数の下からの評価式を構成した。ところが、彼らの結果は、数値実験で予想される値よりも弱いものである。そのため、彼らの結果を改良することを目指した。昨年度は、2進展開の場合においてのみ、彼らの結果を改良することに成功した。今年度は全てのb進展開に対して、代数的無理数のdigit変化数の先行結果を改良することができた。また、本年度は等比数列の小数部分の大きさを解析した。特に、小数部分の極限点に着目して研究を行った。極限点の最大値と最小値の大きさを決定すれば、小数部分が漸近的にどのような大きさを取るかについて知ることができるからである。等比数列の小数部分の大きさを調べることも、公比の数論的性質の研究につながる。本研究では公比が具体的に与えられたときに、極限点の最大値と最小値がどのような値であるかについて、Mahler関数の特殊値を用いて記述することに成功した。

今年，我们分析了出现在实数扩展中的数字。特别是，我们进行了研究，以解决Borel的预测，即数字同样出现在代数非理性数字的B高级发展中。通过检查代数非理性数字的B先进扩展中的数字，可以通过分析代数非理性数字的数值特性来应用于整数理论。数值实验预测，在代数非理性数字（例如√2）的二元扩展中，数字0和1以相同的速率出现。但是，实际上没有数字的代数非理性数字，而且该预测尚未得到解决。因此，为了解决预测，Bugeaud提出了研究B高级发展中数字变化的数量。这是因为如果我们可以证明有很多数字变化，那将是数字统一性的证据。 Bugeaud和Evertse使用有理近似方法从数字更改的底部构建了评估方程。但是，它们的结果比数值实验中的预期弱。因此，他们旨在改善结果。去年，他们仅在二进制部署的情况下才设法改善了结果。今年，我们能够改善所有B高级扩张的代数非理性数字数字变化数量的先前结果。此外，今年我们分析了相等序列的分数部分的大小。特别是，该研究的重点是分数部分的极限点。这是因为确定极限点的最大值和最小值的大小使我们能够渐近地知道分数部分的大小。检查等距序列的分数部分的大小也导致研究普通比率的数值特性。在这项研究中，当特殊给出法线比时，我们使用特殊值成功地描述了极限点的最大值和最小值。

项目成果

On the binary expansions of algebraic numbers

关于代数数的二元展开式

• 发表时间: 2009
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the binary digits of algebraic numbers

关于代数数的二进制数字

• 发表时间: 2010
• 期刊: J.Aust.Math.Soc.
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the digits of the expansions of algebraic numbers in integral basis

论整数基上代数数展开式的位数

• 发表时间: 2010
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the complexity of the binary expansions of algebraic irrational numbers

论代数无理数二元展开式的复杂性

• 发表时间: 2010
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On normal numbers and powers of algebraic numbers

关于正规数和代数数的幂

• 发表时间: 2010
• 期刊: INTEGERS 10
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元