ディオファンタス近似、特に線型回帰数列の小数部分について

丢番图近似，尤其是线性回归序列的小数部分

• 批准号: 09J01325
• 负责人: 金子 元
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J01325/
• 关键词: 代数的数; 正規数; 一様分布論; 小数部分; 等比数列; 極限点; 数系; Mahler関数; 有理近似; 超越数; 代数的独立

本年度は、実数のb進展開に現れるdigitを解析した。特に、代数的無理数のb進展開において、digitが均等に現れるというBorelの予想の解決に向けた研究を行った。代数的無理数のb進展開におけるdigitを調べることで、代数的無理数の数論的性質を解析することにより、整数論への応用が期待される。Borelの予想の具体例として√2など、代数的無理数の2進展開では、digitである0と1が同じ割合で現れると数値実験から予想されている。しかし、実際にdigitの均等性が証明されている代数的無理数は存在せず、この予想は解決には程遠い。そこで、Bugeaudは予想の解決に向けて、b進展開におけるdigit変化数を研究することを提案した。なぜならばdigit変化数が多いことを証明できれば、digitの均等性の証拠になるからである。BugeaudとEvertseは有理近似の方法を用いてdigit変化数の下からの評価式を構成した。ところが、彼らの結果は、数値実験で予想される値よりも弱いものである。そのため、彼らの結果を改良することを目指した。昨年度は、2進展開の場合においてのみ、彼らの結果を改良することに成功した。今年度は全てのb進展開に対して、代数的無理数のdigit変化数の先行結果を改良することができた。また、本年度は等比数列の小数部分の大きさを解析した。特に、小数部分の極限点に着目して研究を行った。極限点の最大値と最小値の大きさを決定すれば、小数部分が漸近的にどのような大きさを取るかについて知ることができるからである。等比数列の小数部分の大きさを調べることも、公比の数論的性質の研究につながる。本研究では公比が具体的に与えられたときに、極限点の最大値と最小値がどのような値であるかについて、Mahler関数の特殊値を用いて記述することに成功した。

今年，我们分析了实数 b 进数展开式中出现的数字。特别是，我们进行了旨在解决 Borel 猜想的研究，即数字在代数无理数的 b 进数展开中相等地出现。通过检查代数无理数的 b 进数展开式中的数字，我们可以通过分析代数无理数的数论性质来期待在数论中的应用。作为Borel猜想的一个具体例子，数值实验预测在√2等代数无理数的二元展开式中，数字0和1以相同的比例出现。然而，实际上并没有证明数字相等的代数无理数，而且这个猜想远非解决方案。因此，Bugeaud提出研究b进数展开式中数字变化的个数，以解决该猜想。这是因为，如果能够证明数字变化的次数很大，就成为数字相等的证据。 Bugeaud和Evertse利用有理逼近的方法，从下面构造了数字变化次数的评估公式。然而，他们的结果弱于数值实验的预期。因此，我们的目标是改善他们的结果。去年，他们仅在二进制展开的情况下成功提高了结果。今年，我们能够改进所有 b-adic 展开式的代数无理数位数变化的初步结果。此外，今年我们还分析了等比级数的小数部分的大小。我们特别关注小数部分的极限点的研究。这是因为通过确定极限点处的最大值和最小值的大小，就可以知道小数部分渐近取什么大小。检查几何级数的小数部分的大小也导致了对常见比率的算术性质的研究。在这项研究中，我们成功地在明确给出公比时，使用马勒函数的特殊值来描述极限点的最大值和最小值。

项目成果

On the binary expansions of algebraic numbers

关于代数数的二元展开式

• 发表时间: 2009
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the binary digits of algebraic numbers

关于代数数的二进制数字

• 发表时间: 2010
• 期刊: J.Aust.Math.Soc.
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the digits of the expansions of algebraic numbers in integral basis

论整数基上代数数展开式的位数

• 发表时间: 2010
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On the complexity of the binary expansions of algebraic irrational numbers

论代数无理数二元展开式的复杂性

• 发表时间: 2010
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元

On normal numbers and powers of algebraic numbers

关于正规数和代数数的幂

• 发表时间: 2010
• 期刊: INTEGERS 10
• 作者: Tadasu Sato;et. al.;渡辺彩乃;荒川貴弘;荒川貴弘;金子元;金子元;金子元;金子元
• 通讯作者: 金子元