半群代数的有限维数和仿射胞腔性

Semigroups and semigroup algebras are widely used in many important areas of mathematics, such as topology, probability and combinatorics, and have also attracted attentions of the Fields Medal winner E.J.Zelmanov and other international leading experts. This project mainly studies the finitistic dimension, affine cellular structure (including the length of cellular chains, center, radical and quasi-heredity), Frobenius bimodule extensions and related problems of semigroup algebras, specially regular semigroup algebras, and recollements of their derived module categories. The finitistic dimension conjecture, which is still open, is one of the most famous conjectures in the representation theory of Artin algebras; while affine cellular structure of algebras can provide a unified framework for parameterizing irreducible representations of a class of infinite-dimensional algebras. The implementation of this project will not only greatly enrich the research of the representation theory of semigroup algebras, but also have strongly positive influences on the deep development of the finististic dimension conjecture and affine cellular algebras.

半群和半群代数在数学的许多重要分支都有广泛应用， 如拓扑、概率和组合等学科，也受到Fields奖获得者E.J.Zelmanov等著名人物的关注。本项目主要研究半群代数（特别是正则半群代数）的有限维数、仿射胞腔结构（包括胞腔链的长度、中心、根基和拟遗传性）、导出范畴粘合和Frobenius双模扩张等相关问题。有限维数猜想是阿丁代数表示论中的一个著名猜想，至今未解决；而仿射胞腔结构能为解决一类无限维代数的不可约表示参数化问题提供统一框架。因此对半群代数这些问题的研究将极大开拓和丰富半群代数的表示理论，并对有限维数猜想和仿射胞腔代数理论的深入发展产生积极的作用。

在代数的结构和表示论领域，代数的同调维数和导出范畴对了解代数的结构和不变量具有重要的意义。半群代数是一类特殊的代数类，它包括群代数，因此研究半群代数的同调维数和结构以及导出范畴对代数表示论和同调代数具有推动作用。 本项目主要研究了对称中心矩阵代数的乘法基以及半群代数结构、全变换半群T_n 的半群代数的控制维数以及半群代数的仿射胞腔性。.. 项目在执行期间，得到的重要结果主要有：.（1）构造对称中心矩阵代数的一个乘法基，并对它的群结构进行研究, 例如格林关系等。然后利用半群代数中的相关结果，对S_n (R)的直积分解, 以及半单性给出刻画。..（2）当S是一个主因子为完全0-单半群的正则半群且k是一个含有单位元的交换环时，压缩半群代数R_0 [S]的仿射胞腔性与所有极大群代数R[G_α]（α∈S/J）的仿射胞腔性之间的关系，其中G_α是S的一个极大子群。证明了压缩半群代数R_0 [S]是仿射胞腔的当且仅当所有群代数R[G_α]是仿射胞腔的。..（3）对全变换半群T_n，其中n至少是3，它的半群代数的控制维数是0...上述结果为进一步研究半群代数的仿射性和了解矩阵半群的中心化子代数（包括一些不变量子代数）的性质打下了基础，激发了一些新的研究课题，如矩阵半群的交换子代数的中心化子代数的研究，我们猜测，这些将与交换代数理论有重要的联系。因此本项目的成果在量子代数中的仿射性、导出范畴的结构和等价、代数表示理论以及与交换代数的交叉等方面有重要的科学意义。

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