多重ポテンシャル井戸をもつ変分問題と関連する時間発展問題の研究

多势井变分问题及相关时间演化问题研究

基本信息

批准号：
02F02035
负责人：
小俣正朗
金额：
$ 0.26万
依托单位：
Kanazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

多重ポテンシャル井戸をもつ変分問題とそれに関連する熱型、波動型偏微分方程式の解の挙動を探ることを目標に研究を行ってきた。特に3重のポテンシャル井戸を持つ問題については、均等に与えられた3重井戸の問題(均等に井戸を与えるために例えばn重井戸ではn-1次元ベクトル値関数を未知関数とする)を取り扱っている。未知関数が、各ポテンシャル井戸の値を取るとエネルギーが小さくなり、多相が共存する場合では、その境界で遷移層(極限では界面)を生ずる現象に相当する。遷移層または界面の運動法則を規定することが第一の目標であった。我々の結果は「3重のミーティングポイントの安定性」、「6重ポイントの不安定性」を数値的に確かめたこと、また大域的なハニカム構造の安定存在も確かめられた。さらに、ハニカム構造の一部破壊による不安定化と構造の崩壊現象のルールも数値的に得られた。結晶成長現象のファセットの動きを記述出来ているように見える。これらの数学的構造をはっきりさせることは課題として残ってしまった。しかし、新たに、ベクトル値のBMOアルゴリズムが、場合によっては多重ポテンシャルの問題と非常ににていることを見いだした。将来の課題と考える。一般的には、多重井戸を使わずにジャンクションポイントの角度を与えて、平均曲率流へ持ち込むやり方もあるが、我々の方法はジャンクションがほどける現象も自動的に追跡でき、ここに人工的な仮定を置かなくて良い点が特徴である。さらに特異点の挙動に関連する常微分方程式を取り扱い、定性的に特異点の形状をうまく調べている。

我一直在进行研究，目标是探索多势井变分问题的解的行为以及相关的热和波偏微分方程。特别是，对于三重势阱问题，我们处理均匀给定的三重势阱问题（例如，在 n 多重势阱中，未知函数是 n-1 维向量值函数）。当未知函数取每个势阱的值时，能量减少，当多相共存时，这对应于在边界处产生过渡层（极限情况下，界面）的现象。主要目标是定义过渡层或界面的运动定律。我们的结果在数值上证实了“三重交点的稳定性”和“六重交点的不稳定”，也证实了整体蜂窝结构的稳定存在。此外，还对蜂窝结构局部破坏引起的失稳和结构倒塌现象的规律进行了数值计算。看来晶体生长现象中晶面的运动是可以描述的。阐明这些数学结构仍然是一个挑战。然而，我们新发现向量值BMO算法在某些情况下很难处理多势问题。将此视为未来的问题。一般来说，有一种方法是不用多口井就给出交汇点的角度，使其达到平均曲率流量，但我们的方法可以自动跟踪交汇点散开的现象，这里我们引入人工的特点是事实上它不需要任何假设。此外，他还处理与奇点行为相关的常微分方程，并成功地定性研究了奇点的形状。