多重ポテンシャル井戸をもつ変分問題と関連する時間発展問題の研究

多势井变分问题及相关时间演化问题研究

基本信息

批准号：
02F00035
负责人：
小俣正朗
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Kanazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

多重ポテンシャル井戸が現れる変分問題について研究を行っている。変分問題としては、主要項がデリィクレ積分と同等で、非線形項として多重ポテンシャルを持つものにあたる。均等な3重井戸を持つ場合について数値計算を行った。結論は(1)3重点の角度は常に優先されるように見える。(2)それ以外では長さを極小にする流れである。(3)蜂の巣構造の極小解が存在する。(4)蜂の巣構造は、局所安定に見える(5)構造を一つの六角形について崩すと、全体が崩壊する(熱方程式)などの事実が分かった。結晶成長を記述する方法として有望であると思われる。また、関連する問題として、反応拡散方程式の場合について、特にスクロールする波を記述することが出来た。上記のような興味深い数値計算による結果と共に、弱解の変分法による構成も行った。これは、時間差分空間微分型汎関数を用いて、各時間ステップごとに最小化関数として近似解を求め、時間方向に補完し、双曲型の近似解に対するエネルギー評価を出すことがメインのステップである。汎関数が、単純に凸ではないので、少々の工夫が必要になってくる。このほか、反応拡散に関連する常微分方程式でも3-dim quadratic Polynomial autonomous systemについて解の挙動を詳しく調べることが出来た。以上の成果を、学術誌掲載(予定も含む)6報にまとめることができた。

我们正在研究出现多个势井的变分问题。作为一个变分问题，主项等价于 Derichlet 积分，并且作为非线性项具有多种潜力。对三孔相等的情况进行了数值计算。结论是（1）三相点的角度似乎总是优先的。 (2)其他情况下，流是为了最小化长度。 (3) 存在蜂窝结构的最小解。 (4) 蜂窝结构似乎是局部稳定的。 (5) 人们发现，如果一个六边形的结构被破坏，整个结构就会崩溃（热方程）。这似乎是描述晶体生长的一种有前途的方法。此外，作为一个相关问题，我们能够在反应扩散方程的情况下描述特别是滚动波。除了上面提到的有趣的数值结果之外，我们还使用变分方法构造了一个弱解。该过程的主要步骤是使用时差空间微分函数在每个时间步获得近似解作为最小化函数，在时间方向上完成该过程，并获得双曲近似解的能量评估。。由于泛函不是简单的凸函数，因此需要一些独创性。此外，我们还能够详细研究与 3 维二次多项式自治系统的反应扩散相关的常微分方程解的行为。我们能够将上述结果总结为六份报告（包括计划在学术期刊上发表）。