Kac-Moodyリー環とその表現の研究

Kac-Moody 李环及其表示的研究

• 批准号: 05740015
• 负责人: 内藤 聡
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Shizuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740015/
• 关键词: generalized Kac-Moody algebra; 指標; Kazhdan-Lusztig多項式; Hecke環; Kac-Moodyリー環

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)はCambridge大学のR.Borcherdsにより近年、数理物理学との関連から導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化となっている。今、g (ALPHA)を、対称化可能なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、etaをそのCartan部分環、W⊂GL(eta*)を対応するWeyl群とする。私は、優整形式LAMBDA∈eta*とomega∈Wに対して、omega(LAMBDA+rho)-rhoを最高ウエイトとするg(A)上の既約最高ウエイト表現L(omega(LAMBDA+rho)-rho)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる、Hecke環の基底の変換の際に現れるある整数係数の多項式を用いて記述する事に(行列Aについての弱い条件の下で)成功した。(ここでrho∈eta*は、g(A)が有限次元半単純リー環の場合には全ての正ルートの和の1/2倍にあたるものである。)これは、g(A)が有限次元半単純リー環の場合にD.KazhdanとG.Lustigにより、そして対称化可能なKac-Moodyリー環の場合にはV.Deodhar,O.Gabber,V.Kacにより提出され、どちらの場合も京都大学数理解析研究所の柏原正樹教授等により解決された結果(Kazhdan-Lusztig予想)の一般化とみなせる。上記の私の結果は、2つの論文"Kazhdan-Lusztig multiplicity formula for general-ized Kac-Moody algebras,I:Towards the conjecture"、"Kazhdan-Lusztig multi-plicity formula for generalized Kac-Moody algebras,II:Proof of the conjecture"としてまとめられ、共に現在投稿中である。さらにこれらの論文の要約が、論文"Kazhdan-Lusztig-type multiplicity formula for symmetrizable generalized Kac-Moody algebras"として投稿中である。

广义Kac-Moody代数（=GKM代数）是剑桥大学R. Borcherds最近提出的与数学物理相关的概念，是Kac-Moody李代数的自然推广。现在，令 g (ALPHA) 为与称为可对称 GGCM 的矩阵 A 相关的 GKM 代数，eta 为其嘉当子环，W⊂GL(eta*) 为相应的 Weyl 群。对于格式良好的形式 LAMBDAεeta* 和 omegaεW，我写出不可约的最高权重表示 L(omega(LAMBDA+rh o)-rho) 使用在变换 Hecke 代数基础时出现的整数系数多项式，称为 Kazhdan-Lusztig 多项式（在矩阵 A 的弱条件下）。 （这里，当 g(A) 是有限维半单李代数时，rhoεeta* 是所有正根之和的 1/2 倍。）这意味着 g(A) 是有限维半单李代数。 D. Kazhdan 和 G. Lustig 在维度半单李代数和对称性的情况下在 Kac-Moody Lie 环的情况下，V.Deodhar、O.Gabber 和 V.Kac 提交了结果，并且在这两种情况下，结果均由京都大学数学科学研究所的 Masaki Kashihara 教授解决，等等（Kazhdan-Lusztig猜想）可以看作是我的上述结果基于两篇论文“广义Kac-Moody代数的Kazhdan-Lusztig重数公式，I：走向猜想”，“广义Kac-Moody代数的Kazhdan-Lusztig重数公式，II：猜想的证明”， ”，目前两者均正在提交中。此外，这些论文的摘要正在作为论文“Kazhdan-Lusztig-type multiplicity Formula for symmetrygeneralized Kac-Moody algebras”提交。