generalized Kac-Moody algebraの表現の研究

广义Kac-Moody代数表达式的研究

• 批准号: 08740006
• 负责人: 内藤 聡
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740006/
• 关键词: Kac-Moodyリー環; generalized Kac-Moody algebra; 表現論

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)はR.E.Borcherdsにより近年導入された無限次元リー環の一クラスで、Kac-Moodyリー環の自然な一般化であるが、最近数理物理学との関連で様々な双曲型の格子をroot格子とする(Kac-Moodyリー環ではない)GKM algebraが注目されている。GKM algebra g(A)の普遍包絡環U(g(A))の(結合代数としての)中心は、g(A)の表現論において重要な役割を果たすものである。g(A)が有限次元半単純リー環の場合には、この中心をg(A)のCartan部分環ηの双対空間η^*上のWeyl群不変な多項式関数環S(η)^Wとして実現するHarish-Chandra準同型の存在及びその性質は、良く調べられている。しかし、g(A)が無限次元の場合には、(Kac-Moodyリー環の場合であっても)このHarish-Chandra準同型についての研究は、V.G.Kac自身によるものの他は、あまり成されていない。私は、g(A)がKac-Moodyリー環の場合のKacの結果に欠陥を発見し、それを修正して、さらにGKM algebraの場合にまで拡張した。これはGKM algebra g(A)の完備化された普遍包絡環の中心を、η^*の部分領域である(複素化された)Tits coneの内部K上の(ある関数方程式を満たす)正則関数の成す環として実現するというものである。なお、上記の結果は、論文“On the Harish-Chandra homomorphism for generalized Kac-Moody algebras"としてまとめられ、近く投稿する予定である。

广义 Kac-Moody 代数（=GKM 代数）是 R.E Borcherds 最近提出的一类无限维李代数，是 Kac-Moody 李代数的自然推广，其根格是双曲格（不是 Kac-Moody 李代数）引起了人们的注意。 GKM 代数 g(A) 的通用包络环 U(g(A)) 的中心（作为结合代数）在 g(A) 的表示论中起着重要作用。当g(A)是有限维半单李代数时，该中心被定义为g(A)的嘉当子环η的对偶空间η^*上的Weyl群不变多项式函数环S(η)^W已实现的 Harish-Chandra 同态的存在和性质已得到充分研究。然而，当 g(A) 是无限维时，除了 V.G. Kac 本人之外，对这种 Harish-Chandra 同态（即使是 Kac-Moody Lie 代数的情况）也没有做太多研究。当 g(A) 是 Kac-Moody Lie 环时，我发现 Kac 的结果存在缺陷，修复了它，并将其进一步扩展到 GKM 代数的情况。这将 GKM 代数 g(A) 的完整万能包络环的中心定义为（复）Tits 圆锥内部 K 上的全纯函数（满足某个函数方程），它是 η^* 的子域实现为由形成的环。上述结果将总结在一篇论文“On the Harish-Chandrahomomorphism forgeneralized Kac-Moody algebras”中，并将于近期提交。