一般化されたKac-Moodyリー環の表現の研究

广义Kac-Moody李代数表示的研究

• 批准号: 06740017
• 负责人: 内藤 聡
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Shizuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740017/
• 关键词: generalized Kac-Moody algebra; ホモロジー群; 完全可約性; Kac-Moodyリー環

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)は、近年Borcherdsにより、位数最大の散在型有限単純群であるMonster群の無限次元表現moonshine moduleの研究の過程において導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化ともなっている。今、g(A)を、対称なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、p^-をそのopposite parabolic subalgebra、そしてu^-はp^-のnilpotent radical、mはp^-のmaximal reductive subalgebraであるとする。このとき、自明な一次元加群Cに係数を持つu^-のホモロジー群Hp(u^-,C)(p【greater than or equal】0)の、m-加群としての既約分解を決定する事は非常に重要な問題であり、mがKac-Moodyリー環の場合には、既に解決されている。特に、p^-がopposite Borel subalgebra b^-であるときは、このホモロジー群の指標の交代和を取る事により、ある種の離散部分群に関する有理型保型形式が得られる事が分かっている。ところが、mが必ずしもKac-Moodyリー環でない場合、即ち、一般のGKM環である場合には、カテゴリーOに属するGKM環上の加群が完全可約である為の良い十分条件が知られていなかった事もあって、あまり調べられていなかった。私は、この完全可約性の為の(かなり一般的な)一つの十分を得、それを利用して、ある条件の下でホモロジー群Hp(u^-,C)がm-加群として完全可約である事を示し、そのm-既約成分への直和分解を決定した。さらに、今後の計画としては、この結果をGKM環のroot multiplicity等の研究に応用する事を考えている。

广义Kac-Moody代数（=GKM代数）是Borcherds最近在研究moonshine模的过程中引入的概念，Monster群的无限维表示，它是最大阶的离散有限单群。也是李代数的自然推广。现在，令 g(A) 为与矩阵 A 相关的 GKM 代数（称为对称 GGCM），p^- 为其相反的抛物线子代数，u^- 为 p^- 的幂零根，m 为 p 的最大约简^- 假设它是子代数。在这种情况下，u^-的同调群Hp(u^-,C)(p【大于或等于】0)在平凡一维模C中具有系数作为m-模的不可约分解为这是一个非常重要的问题，如果m是Kac-Moody Lie环，那么这个问题就已经解决了。特别地，当p^-与Borel子代数b^-相反时，已知通过取该同调群的指数的交替和，可以获得某类离散子群的有理自守形式。然而，如果 m 不一定是 Kac-Moody Lie 代数，即，如果它是一般 GKM 代数，则属于 O 类的 GKM 代数上的模完全可约，不存在已知的充分条件。没有这样的事情，没有进行太多调查。我获得了这种完全可约性的（相当一般的）充分性，并用它来证明在某些条件下同调群 Hp(u^-,C) 是一个 m 模 我们证明它是完全可约的，并确定了它的直和分解为 m-不可约成分。此外，作为未来的计划，我们正在考虑将这一成果应用于 GKM 环的根重数等研究。