非線形偏微分方程式の解の構造と特異摂動問題の研究

非线性偏微分方程与奇异摄动问题的解结构研究

基本信息

批准号：
01F00178
负责人：
俣野博
金额：
$ 1.54万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度、俣野と婁は、境界が鋸の刃状の形状をした平面内の帯状領域における曲率流方程を考えた。ある条件下で、この方程式は「周期進行波」と呼ばれる解をもつ。この周期進行波の平均速度が、境界の形状にどのように依存するかを調べるのは応用上も重要な問題であるが、これまで全く結果がなかった。俣野は婁と共同で境界の鋸の刃の周期を限りなく小さくしていったときの極限における平均速度を調べ、形式的な漸近解析によって、極限速度を精密に予想することに成功した。今年度は上に述べた周期進行波の平均速度を厳密な手法で評価し、予想が正しいことを証明した。詳しくいうと、平均速度の極限は、境界の凹凸の最大の傾きにのみ依存する。これは非常に意外な結果であり、我々自身も驚いている。また、上の結果を、境界が準周期的凹凸をもつ場合に拡張することにも成功した。この場合、周期進行波ではなく「準周期進行波」なるものが出現するが、このような進行波は新しい概念であり、その正確な意味付けも行った。我々は、さらに、周期的波状境界を持つ高次元シリンダー領域における界面進行波を考えた。その結果、進行波の平均速度は二次元と同じように評価され、極限進行波のプロファイルも類似の常微分方程式の解によって与えられることが分かった。

去年，Matano和Shizu考虑了边界是锯的叶片状形状的平面上的带状区域的曲率流速。在某些条件下，该方程式具有称为“周期性行驶波”的解决方案。在应用方面，研究该周期性行驶波的平均速度如何取决于边界的形状，但根本没有实现，这一点很重要。 Matano与YU合作，研究了边界锯时刀片尽可能小时的平均速度，并成功预测了通过正式渐近分析的极限速度。今年，我们使用严格的方法评估了上面提到的环状行驶波的平均速度，以证明我们的预测是正确的。具体而言，平均速度的极限仅取决于边界不规则的最大斜率。这是一个非常令人惊讶的结果，我们也感到惊讶。当边界具有准周期性不平衡时，我们还成功扩展了上述结果。在这种情况下，出现了一个叫做“准期旅行浪潮”的东西，而不是周期性的旅行浪潮，但是这样的旅行浪是一个新概念，我们也给了他们准确的含义。我们进一步考虑在具有周期性波浪边界的高维圆柱区域内的界面行驶波。结果表明，流动波的平均速度与二维格式相同的方式进行了评估，并且最终行动波的曲线也由对相似普通微分方程的解决方案给出。