カオス的遍歴の数学的構造

混沌巡回运动的数学结构

基本信息

批准号：
11874034
负责人：
高橋陽一郎
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

有限次元力学系のカオス的遍歴そのものについては成果公表にまで至らなかったが、より複雑な挙動を示す「関数力学系」と呼ぶ無限次元力学系に関して、本格的な研究の糸口を与える数学的構造を発見し、基礎的な成果を挙げることができた。「関数力学系」とは、1次元写像に値をとる力学系f→(1-ε)f+εfofであり、金子-片岡により自己参照系のモデルとして提唱され、その漸近挙動については興味深いシミュレーション結果が観察されていた。この力学系について以下の数学的結果を得た。(i)1次元写像の不動点集合、およびその逆像は、時間に関して単調増大であること。(ii)区間のある空でない部分集合Ω上では、長時間極限が存在して、f=fofを満たす階段関数となること、およびその集合Ωの特徴付け。(iii)ある自然な条件のもとで、Ωの外に部分集合Xが存在し、X上での部分力学系は"参照力学系"g(x)=(1-ε)x+εf(x)に駆動された通常の力学系と一致すること(その典型例はNagumo-Sato力学系)。(iv)さらに、その外に部分集合が順次、存在し、それ以前の段階で得られた部分力学系に駆動される部分力学系という階層構造が(適当な条件のもとで)存在すること。以上により、金子-片岡がI,II、III型固定点と呼んだものについては数学としての解析が完了した。なお、(iv)の詳しい構造、とくに「もつれる場合」の解明は今後の課題である。これらの成果は、高橋、金子、片岡、行木の共著論文"Function Dynamics"として、International Workshopon Chaos and Nonlinear Dynamics in Asuka(2000年10月)にて口頭発表、近く応用数班学会欧文誌JJIAMに掲載される。

尽管完成的维度学术系统的混乱本身并未达到结果的宣布，但数学结构为无限阶段力学系统提供了完整研究的线索，这表明我能够找到基本的行为。结果。 “功能力学系统”是一种机械系统F→（1-ε）f+εfof，其成本是一维图，并由Kaneko-Kataoka提倡作为自我参考系统，并且是一个有趣的模拟，用于其渐近学行为。关于这种机制，获得了以下数学结果。（i）一个维度映射的Fudoscope集应在时间上是单调的。（ii）不带有部分空的非空部分是满足F = FOF在ωΩ上的楼梯函数，以及集合ω的特征。（iii）在某些自然条件下，部分集合X存在于ω之外，而X上的部分机械系统为“参考机械系统” G（x）=（1-ε）X+εf（正常机械系统的典型示例驱动到X）（一个典型的例子是Nagumo-Sato力学）。（iv）此外，还有一个层次结构，称为部分力学系统，该系统驱动到较早的阶段（在适当的条件下）获得的部分力学系统。结果，已经完成了Kaneko-Kataoka的I，II和III类型固定点的数学分析。此外，（iv）的详细结构，尤其是阐明“纠结”是一个未来的问题。这些成就是Asuka的国际研讨会和非线性动态（2000年10月），作为高桥，Kaneko，Kataoka和Gyeki的合伙人。