次元が無限大に発散する空間列の幾何解析的な収束理論の展開

维度发散至无穷大的空间序列的几何分析收敛理论的发展

基本信息

批准号：
22K20338
负责人：
数川大輔
金额：
$ 1.83万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-08-31 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

測度距離空間およびその拡張概念であるピラミッドに関して，以下の3つの研究を行った．1つ目の研究では，東北大学の横田氏と共同で，測度距離空間族における位相的有界性と順序的有界性の同値性について研究を行った．我々が以前証明した同値性のある種の局所版が成り立つだろうと予想し，その証明を行い，論文にまとめ，現在投稿中である．またその証明のテクニックは非常に緻密で横田氏によって別の主張の証明にも応用されている．2つ目の研究では，東北大学の塩谷氏・中島氏と共同で，測度距離空間全体の上に定まるボックス位相・集中位相およびピラミッド全体の上に定まる弱位相について位相的性質を調査した．昨年度中までに得られていた局所コンパクト性，σコンパクト性，Baire性，(大域)可縮性，測地性，局所連結性の有無に加えて，新しくスケーリング作用に関する主束構造についての結果を得ることが出来た．この研究に関する論文を執筆し，現在投稿中である．3つ目の研究では，福岡大学の三石氏・江崎氏と共同で，Cauchy分布を持つユークリッド空間(以下，Cauchy空間と呼ぶ)の集中位相に関する無限次元極限を決定した．実際，適切にスケールしたCauchy空間の次元を無限大に発散させた極限は1次元の半直線になることが分かった．これは正規分布の場合などの従来の結果とは全く異なる現象であり非常に興味深い．また我々はこの例を一般化し，収束する空間列に対する錐の収束という一般論も構築した．この研究に関する論文は現在執筆中である．

我们对测度度量空间及其扩展概念金字塔进行了以下三项研究。在第一项研究中，我与东北大学的横田先生合作，研究了测度空间族中的拓扑有界性和序数有界性的等价性。我们预测我们之前证明的等价性的某种本地版本将成立，并且我们已经证明了这一点，并将其编译成一篇论文，目前正在提交。此外，证明技术极其精确，横田已经应用它来证明其他主张。在第二项研究中，我们与东北大学的 Shioya 先生和 Nakajima 先生合作，研究了盒拓扑和集总拓扑的拓扑特性（在整个测量度量空间上确定）和弱相位（在整个金字塔。除了去年年底获得的局部紧性、σ 紧性、Baire 性质、（全局）收缩性、大地测量以及局部连通性的存在/不存在之外，我们还将获得与以下相关的主丛结构的新结果：我能够做到这一点。我已经写了一篇关于这项研究的论文，目前正在提交。在第三项研究中，我们与福冈大学的三石先生和江崎先生合作，确定了具有柯西分布的欧几里得空间（以下简称柯西空间）的集总拓扑的无限维极限。事实上，事实证明，发散至无穷大的适当缩放的柯西空间的极限是一维半线。这是一个非常有趣的现象，因为它与常规结果（例如正态分布的情况）完全不同。我们还推广了这个例子，并建立了收敛空间序列的圆锥收敛的一般理论。目前正在撰写有关这项研究的论文。