空間収束を用いた集中・消散現象の幾何学的研究

使用空间收敛对集中和耗散现象进行几何研究

基本信息

批准号：
20J00147
负责人：
数川大輔
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

測度距離空間およびその拡張概念であるピラミッドに関して，以下の3つの研究を行った．1つ目の研究では，東北大学の横田氏と共同で，昨年度に引き続き，測度距離空間族における位相的有界性と順序的有界性の同値性について調査を行った．この同値性に関する昨年度中に得られた結果がある意味で局所的にも成り立つだろうと予想し，その証明を目標として更なる研究を行った．元の結果を局所的にするという発想は斬新で，実際に証明ができれば本研究が従来とはまた異なる意義を持つことになる．証明はほとんどできており，論文を準備中である．2つ目の研究では，東北大学の塩谷氏・中島氏と共同で，測度距離空間全体の上に定まるボックス位相・集中位相およびピラミッド全体の上に定まる弱位相について，これら3つの空間の位相的性質を調査した．従来，位相的性質はコンパクト性，可分性，(適切な距離関数の)完備性の有無が知られていたが，本研究では局所コンパクト性，σコンパクト性，Baire性，(大域)可縮性，局所連結性などの有無を明らかにすることに成功した．現在，その他の性質も調査中である．3つ目の研究では，福岡大学の三石氏・江崎氏と共同で，2つのピラミッドがいつ異なると言えるかという問題に対して不変量を用いたアプローチを行った．実際に我々はピラミッドの重要な具体例である無限次元ガウス空間と無限次元立方体が互いに相似でないことを不変量を用いて証明した．また我々は集中現象の逆現象である消散現象の観点から“部分消散”という概念を新たに与え，それに対応するピラミッドを構成し，それらが互いに異なることを証明した．これにより測度距離空間に対応しないピラミッド全体の次元が無限次元であることが得られた．本研究に関する論文も現在執筆中である．

我们对测度度量空间及其扩展概念金字塔进行了以下三项研究。在第一项研究中，我们与东北大学的横田先生合作，从去年开始继续研究测度空间族中的拓扑有界性和序数有界性的等价性。我们预测去年获得的关于这种等价性的结果在某种意义上在当地是成立的，并且我们进行了进一步的研究以证明这一点。将原始结果本地化的想法很新颖，如果能够真正得到证明，这项研究将具有与以往不同的意义。证明已基本完成，目前正在准备论文。在第二项研究中，我们与东北大学的 Shioya 先生和 Nakajima 先生合作，研究了这三个空间的拓扑，包括盒拓扑、集总拓扑（在整个测量度量空间上确定）以及弱相位，这是在整个金字塔上确定的。以前，我们知道拓扑性质包括紧致性、可分离性和完备性（适当的距离函数），但在本研究中，我们重点关注局部紧致性、σ 紧致性、贝尔性质和（全局）可归约性。存在或不存在连接、本地连接等。其他财产目前正在调查中。在第三项研究中，我们与福冈大学的 Mitsuishi 先生和 Ezaki 先生合作，使用不变方法来解决何时可以说两个金字塔不同的问题。事实上，我们使用不变量来证明无限维高斯空间和无限维立方体（金字塔的重要例子）彼此不同。我们还从耗散现象（集中现象的逆现象）的角度给出了“部分耗散”的新概念，构建了相应的金字塔，并证明了它们之间的不同。由此，我们得到整个金字塔不对应测度度量空间的维度是无穷维。目前正在撰写与这项研究相关的论文。