多様体上の種々の構造

歧管上的各种结构

基本信息

批准号：
04640016
负责人：
高木亮一
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Chiba University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1992
资助国家：
日本
起止时间：
1992 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-04640016/
关键词：
複素射影空間実超曲面主曲率等質空間全測地的部分多様体

项目摘要

上記研究課題について次のような結果を得た.以下Pn(C)は複素射影空間とし,Mをその実超曲面とする.Mの例としてはPn(C)の等長変換群のある部分群の軌道となるようなものが6種類知られている.これらのモデル空間には等質性であるから,第2基本形式の固有値すなわち主曲率が一定というよい制質をもっている.そこで「この性質はモデル空間の特徴か」という問題が自然に考えられる.これを示すには,Mの法ベクトルをPn(C)の複素構造で写したベクトル(基本ベクトルと呼ばれている)が主方向であることがわかれば十分であることが知られている.これを完全に示せるまでには至っていないが,「基本ベクトルがすべの主曲率空間に成分をもつことはない」という部分解を得ることができた.完全解は今後に委ねたい.次に,等質空間の全測地的部分多様体の分類問題を考えた.これは,長野ーchenによる対称空間の全測地的部分多様体の分類定理から自然に派生した問題である.この問題を解くに当っては,まず全測地的という幾何学的構造をLie群の代数学的構造で表現するという問題を解決する必要がある.我々は,等質空間が「すべての測地線は等長変換群の1ー径数部分群の軌道になっている」という幾何学的条件をみたせば,それが可能であることを証明した.しかし,その表現方法と証明法は目下のところ非常に雑複である.そのためにまだ十分な応用を得るに至っていない.今後の課題として取り組んで行きたい.

针对上述研究问题，我们得到了以下结果。下文中，Pn(C)是复射影空间，M是其实超曲面。作为M的例子，我们将使用Pn(C)的等距变换子群已知的轨道类型有六种。由于这些模型空间是齐次的，因此它们有一个很好的约束，即第二基本形式的特征值，即主曲率，是恒定的。一个自然要问的问题是，这个属性是否是模型空间的特征，众所周知，知道的方向就足够了。我能够获得部分解决方案，我想把完整的解决方案留给未来。接下来，我考虑了齐次空间的所有测地线子流形的分类问题，这是一个从所有测地线的分类定理自然导出的问题。为了解决这个问题，我们首先要解决用李群的代数结构来表达称为全测地线的几何结构的问题。我们需要解决这个问题。如果齐次空间满足“所有测地线都是等距变换群的1直径子群的轨道”的几何条件，那么我们就可以证明这是可能的方法。表达和证明目前非常复杂，因此我们还没有充分应用这种方法，我们希望将其作为未来的主题。