時間離散化スキームと変分法を用いた双曲型微分方程式の研究

使用时间离散格式和变分法研究双曲微分方程

• 批准号: 07804005
• 负责人: 立川 篤
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Shizuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07804005/
• 关键词: 変分法; 離散的勾配流; 双曲型微分方程式; 弱解; ヴァリフォルド; 擬微分作用素; マルコフ過程; 解の漸近挙動

立川は変分法と時間離散化スキームを組み合わせた方法(離散的勾配流の方法)によって、双曲型偏微分方程式(∂^2u)/(∂t^2)=(F(u)のEuler-Lagrange方程式)(但し、Fは変分汎関数)の解の構成及びその漸近挙動について研究している。平成7年度の研究成果としては、東北大学長澤壯之氏と共同で強ダンピング項を持った非線形双曲型偏微分方程式系の弱解を構成し、その弱解が指数減衰することを示した。(T.Nagasawa and A.Tachikawa:Existence and asymptotic behavior of weak solutions to strongly damped semilinear hyperbolic systems.Hokkaido Math.J.,24(1995)387-405.)また、現在は膨張する領域上での双曲型及び放物型偏微分方程式系の弱解の構成にも結果を得たが、これらについての論文はまだ投稿準備中である。菊地は主として、1.ヴァリフォルド理論の微分方程式への応用、2.変分問題と関係のある双曲型自由境界問題、3.擬微分作用素の確率論への応用、の3つのテーマについて研究を行なった。3のテーマについては根来と共同で一定の条件の下で強楕円型擬微分作用素がマルコフ過程を生成する事を証明した。2のテーマについては金沢大学小俣正朗氏と共同で空間1次元の場合に局所解の存在を証明した。1のテーマについては離散的勾配流の方法で近似した解が弱解に収束するかという問題に対しヴァリフォルド理論を用いて一定の成果を得ている。根来は菊地と共同で上記のような研究を行った。

Tachikawa正在研究溶液的结构及其双曲线偏微分方程（∂^2U）/（∂t^2）=（F（U）的Euler-Lagrange方程）（F（F是变异功能），通过结合变异方法和时间分离式方程（f（f））。 1995年的研究结果与Tohoku University Nagasawa Yoshiyuki先生共同构成了具有强阻尼术语的非线性双曲线偏微分方程系统的弱解决方案，并表明该弱解决方案是指数型衰减的。 （T. Nagasawa和A. tachikawa：对强烈阻尼的半线性双曲线系统的弱解决方案的存在和不对称行为。 Kikuchi主要研究了三个主题：1。将Valifold的理论应用于微分方程，2。与变异问题有关的双曲线自由边界问题，以及3。将伪差异操作员应用于概率理论。以3为主题，我们共同证明了强椭圆形伪分别差异操作员在某些条件下会产生马尔可夫过程。关于2的主题，我们与金泽大学的奥马塔·马萨基（Omata Masaaki）合作，以证明在空间一维的情况下证明了本地解决方案的存在。关于主题1，我们使用Valifold的理论实现了某些结果，以解决使用离散梯度流量方法将近似解决方案收敛到弱解决方案的问题。 Negoro与Kikuchi合作进行了上述研究。

项目成果

長澤壯之、立川篤: "Existence and asymptotic behavior of weak solutions to strongly damped semilinear hyperbolic systems" Hokkaido Mathematical Journal. 24. 387-405 (1995)

Toshiyuki Nagasawa、Atsushi Tachikawa：“强阻尼半线性双曲系统弱解的存在性和渐近行为”北海道数学杂志 24. 387-405 (1995)。

菊地光嗣、根来彬: "Pseudo differential operators and Sobolev spaces of variable order of differentiation" Reports of Faculty of Liberal Arts Shizuoka University. 31. 19-27 (1995)

Mitsushi Kikuchi、Akira Negoro：“伪微分算子和可变阶微分的 Sobolev 空间”静冈大学文学院报告 31. 19-27 (1995)。