Research on variational problems for the functionals with variable exponents

变指数泛函变分问题研究

• 批准号: 20K03707
• 负责人: 立川 篤
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03707/
• 关键词: 変分問題; 弱解の正則性; double phase; p(x)-growth; partial regularity; 解の正則性; 変動する指数をもつ汎関数; non-standard growth; double phase functional

2021度に引き続き，double phaseタイプと呼ばれるタイプで，変動する指数を持つタイプの汎関数の最小点を与える写像の正則性に関して研究を進めている．具体的には，(|Du|のp(x)乘）＋a(x)|Du|のq（x）乘もしくは(|Du|のp(x)乘）＋a(x)(|Du|のp(x)乘)log(1+|Du|)の積分で与えられるタイプの汎関数を扱っている．ここで，Duはm-次元ユークリッド空間の有界領域Ω上で定義されｎ次元ユークリッド空間に値を持つ未知関数uの微分，p(x), q(x), a(x)はいずれもΩ上で定義された連続関数で，q(x)は各点でp(x)以上，p(x)は１より真に大きく，a(x)は０以上の値を取る関数とする．以下，前者をp(x)-q(x)タイプ，後者をp(x)-p(x)logタイプと呼ぶ．どちらのタイプも，a(x)=0となる集合の境界上で，いわゆるgrowth orderが不連続的に変わることが正則性の問題を困難にしている．2020年度よりCatania大・Ragusa教授との共同研究でp(x)-p(x)logタイプの汎関数の最小値を与える写像の正則性を研究していたが，未知関数の微分Duのヘルダー連続性まで得ることができた．これは通常期待される最善の結果とみなすことができ，この研究はほぼ完成したと言ってよく，現在論文にまとめている．一方，p(x)-q(x)タイプの汎関数について, |Du|をx,uに依存する係数行列によるDuの２次形式A(x,u)DuDu（Aは Ω×（n-次元ユークリッド空間）上で定義された対象なテンソル場で一様楕円性条件を満たすものとする）の平方根で置き換えたタイプの汎関数を研究し，部分正則性に関する結果を得ることができた．これはすでに論文としてまとめ，現在投稿中である．

从2021度开始，我们目前正在对地图的规律性进行研究，该研究给出了一种称为双相类型的类型的功能点，具有可变指数。具体而言，它处理由（| du | s p（x）类型） + a（x）| du | |'s q（x）类型或（| du |'s p（x）type） + a（x）（x）（| du |'s p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）p（x）log（1+ | DU |））的积分的功能。 Here, Du is a derivative of the unknown function u that has a value in the n-dimensional Euclidean space, defined on the bounded region Ω of the m-dimensional Euclidean space, and p(x), q(x), and a(x) are all continuous functions defined on Ω, where q(x) is equal to or greater than p(x) at each point, p(x) is truly greater than 1, and a(x) is等于或大于0。以下程序，前者称为p（x）-q（x）类型，后者称为p（x）-p（x）log类型。对于这两种类型，规律性问题都很困难，因为所谓的生长顺序在集合边界上不连续变化，其中a（x）= 0。在2020年，我们一直在研究与卡塔尼亚大学拉古萨（Ragusa）教授合作的p（x）-p（x）日志类型功能的最低值的规律性，并能够获得未知功能的差异性DU的Helder连续性。这可以被认为是通常预期的最佳结果，可以说这项研究几乎完成了，目前在论文中进行了总结。另一方面，对于p（x）-Q（x）类型的功能，我们研究了| du |的功能类型被DU的二次形式A（X，U）DUDU的平方根取代（其中满足了在ω×（N维euclidean euclidean Space）定义的张量的均匀椭圆形条件下取决于X，u的系数矩阵，并且我们能够获得一部分常规性的结果。这已经作为论文编译，目前正在提交。

项目成果

Universita` di Catania(イタリア)

卡塔尼亚大学（意大利）

Boundary regularity of minimizers of double phase functionals

• DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.123946
• 发表时间: 2020
• 期刊: Journal of Mathematical Analysis and Applications
• 影响因子: 1.3
• 作者: A. Tachikawa

Partial regularity of minimizers for double phase functionals with variable exponents

变指数双相泛函最小化器的部分正则性

• 发表时间: 2023
• 作者: Jong-Shenq Guo;Amy Ai Ling Poh and Masahiko Shimojo;Jitsuro Sugie;松澤寛;H. Ninomiya;Tachikawa Atsushi;Yoshikazu Kobayashi and Naoki Tanaka;Masahiko Shimojo;菊池弘明;立川 篤
• 通讯作者: 立川 篤