グラフ上の非線形拡散系のダイナミクス

图上非线性扩散系统的动力学

• 批准号: 13874014
• 负责人: 柳田 英二
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-13874014/
• 关键词: グラフ; 非線形; 拡散; 反応拡散系; 偏微分方程式; 安定性; 変分問題; 固有値問題; 3重結合; 極限方程式; 界面; 定常解; 歪勾配系; 拡散系; グラフ; 非線形; 拡散; 反応拡散系; 偏微分方程式; 安定性; 変分問題; 固有値問題; 3重結合; 極限方程式; 界面; 定常解; 歪勾配系; 拡散系

グラフ上で定義される各種の非線形系のダイナミクスについて研究を行った.特に,グラフの幾何学的,位相的性質がダイナミクスとどう関わっているかについて考察した.研究対象となる非線形系としては,平均曲率流に従う界面ダイナミクス,反応拡散方程式および,べきの形の非線形項を含む放物型あるいは楕円型方程式が考えられるが,本年度は特に,3重結節点を持つ界面のダイナミクスについて調べ,以下のような成果を上げた.まず,3重結節点を持つ平均曲率流に対し,定常界面の安定性に関する理論的,数値解析的検討を行った.2個の3重結節点を持つ界面に対しては,前年度の研究によってその安定度を定める特性関数を導いたが,今年度は多数の3重結節点を持つ界面に対して同様の結果が得られるかどうかについて考察し,特性関数の具体形を決定することに成功した.また,この特性関数の符号と境界の曲率の符号から不安定次元を与える公式を導いた.さらに数値シミュレーションの結果と比較検討した.次に,与えられた領域において,定常状態が存在するための条件について調べた.これは古典的なFermat-Steiner問題と関係する興味深い変分問題であるが,境界条件の違いから自由度の高い難しい問題となる.一般の領域では不十分な結果しか得られなかったが,凸領域においては少なくとも1個の定常状態の存在を示すことに成功した.また,この結果が複数の3重結節点を持つ場合にも拡張されることを示し,存在を示す過程において,自然に不安定次元が計算できることを明らかにした.さらに,定常解が存在するための条件が持つ幾何学的意味について明らかにした.

我们研究了图表上定义的各种非线性系统的动力学。特别是，我们研究了图的几何和拓扑特性与动力学的关系。作为要研究的非线性系统，我们考虑遵循平均曲率流，反应扩散方程以及包含功率形非线性术语的非线性术语的抛物线或椭圆方程的界面动力学。今年，我们特别研究了尤其是三个点头的接口的动力学，并实现了以下结果。首先，我们对平均曲率流的稳态界面的稳定性进行了理论和数值分析。对于两个三个点头点头的接口，我们得出了一个特征功能，该功能通过上一年的研究来确定两个三重点头的稳定性，但是今年，我们检查了是否可以获得具有许多三重节点的接口可以获得相似的结果，并且我们已经检查了与许多Triple Nods的接口相似的结果，并且我们已经获得了以下结果，并且我们已经获得了以下结果。我们成功地确定了身体形状。我们还得出了从该特征函数的符号和边界曲率的符号中得出不稳定尺寸的公式。我们进一步比较了数值模拟的结果。接下来，我们研究了给定区域中稳态存在的条件。这是一个有趣的变分问题，与经典的费马特 - 斯坦纳问题有关，但是边界条件的差异使其具有高度自由度的困难问题。尽管仅在一般地区获得的结果不足，但我们成功地表明了凸区域中至少存在一个稳态。我们还表明，即使有多个三个节点点，也会扩展该结果，并揭示出在显示存在的过程中可以自然计算的稳定维度。此外，我们阐明了存在稳态的条件的几何含义。