シュレディンガー方程式の準古典解析

薛定谔方程的半经典分析

基本信息

批准号：
11740081
负责人：
藤家雪朗
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

前年度,およびそれ以前の研究の一つの応用として,散乱位相の漸近解析を研究した.散乱位相は,シュレディンガー方程式のポテンシャルV(x)が遠方で十分はやく減衰している時,散乱行列の行列式(絶対値1の複素数)の偏角を2πでわったものとして定義される.散乱位相ξ(E,h)はしたがってエネルギーEおよびプランク定数に由来する小さなパラメータhの関数である.散乱位相は実はKreinの跡公式によって負のエネルギーEにも自然に拡張できて,そこでは固有値の個数関数に一致する.したがって散乱位相は連続スペクトルのスペクトル密度を与える関数であるということができる.スペクトル密度の研究は,1911年のWeylに始まる.有名なWeyl公式とは,R^dの有界領域ΩのDirichlet Laplacianの固有値の個数関数N(E)のE→+∞のときの漸近公式N(E)〜c_dVol(Ω)E^<d/2>である.類似の公式が外部問題やシュレディンガー方程式についても成り立つ.特にシュレディンガー方程式においては準古典極限,すなわちEはある有限区間に固定してhを0に近付けた時にも類似の漸近公式が"genericな"Eに対して成り立つことが知られている.本研究では,逆にWeyl公式が破綻する場合を扱った.それは一次元(d=1)で,V^<-1>(E)が非退化なcritical pointすなわちV'(x)が消えて曲率が消えない点を含む場合である.このcritical valueをV_0とし,|E-V_0|=0(h)とする.このときV^<-1>(E)が一つのcritical pointから成る場合(I)と二つのcritical pointから成る場合(II)について,次のような結果を得た.まず(I)の場合,dξ/dEのh→0のときの漸近展開の初項は(1/πh)(log1/h)にcritical pointの曲率の逆数をかけたものに等しく,(II)の場合は,(1/πh)(log1/h)に二つのcritical pointの曲率の逆数の平均をかけたものと,実軸近くに存在する散乱極によって生成されるある振動する項との和に等しい.これらの結果は,exact WKB法による散乱行列の漸近展開の計算をもとに新たに得られたものである.

作为前几年和以前的研究的应用，我们研究了散射阶段的渐近分析。散射阶段定义为散射矩阵的决定因素（绝对值1的复杂数（绝对值1的复杂数），当schrödinger方程的电势V（x）在2π处很好地减弱。因此，散射相ξ（E，H）是源自能量E和Planck常数的小参数H的函数。实际上，散射阶段可以通过角链痕迹公式自然地扩展到负能量E，其中它与特征值的数字函数匹配。因此，可以说散射阶段是赋予连续光谱的光谱密度的函数。光谱密度的研究始于1911年的Weyl。著名的Weyl公式在r^d的边界区域中是Dirichlet。 Laplacian特征值的数字函数n（e）的渐近公式n（e）至c_dvol（ω）e^<d/2>是e→+∞。对于外部问题和Schrödinger方程，类似的公式也有。特别是，在schrödinger方程中，众所周知，当e固定在某个有限的间隔中并将h固定时，类似的渐近公式可用于“通用” e。在这项研究中，我们处理了Weyl Formula失败的情况。这是当v^<-1>（e）为一个维度（d = 1），而v^<-1>（e）包含一个非分级临界点的点，即v'（x），消失，曲率不会消失。这个关键的让V_0和| E-V_0 | = 0（H）。在这种情况下，对于由一个临界点和（ii）和（ii）组成的V^<-1>（e），获得了以下结果。首先，在（i）中，当dξ/de的H h→0时，渐近扩展的第一项等于（1/πh）（log1/h），这是通过临界点的曲率倒数以及（ii）中的（1/πh）（1/πh）（log1/h）的总和的平均值，而实现的cruciLl的平均值，而（ii）的总和（ii）的总和是oss的平均值，则是oss的平均值。轴。这些结果是根据使用精确WKB方法的渐近矩阵扩展的计算而新获得的。