シュレディンガー方程式の準古典解析

薛定谔方程的半经典分析

基本信息

批准号：
13740088
负责人：
藤家雪朗
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

Resonancesの準古典分布に関する研究をWKB法を用いて行った.特に本年度は多次元の問題に着手した.Schrodinger作用素のある意味での複素固有値として定義されるresonancesは,対応する古典力学系の捕捉された軌道と密接な関係がある.その捕捉された軌道の集合が一つのhomoclinicな軌道で構成されている場合のresonancesの準古典分布の研究を,J.F-.Bony氏,T.Ramond氏,M.Zerzeri氏と共に試みた.方法としては,一次元の場合に有効なexact WKB法に代わって,超局所的なWKB解析を用いる.すなわち相空間で超局所的にWKB解を構成し,homoclinic軌道に沿ってこのWKB解を接続する.軌道を一周して同じ点に戻った時,元の解と一致するという条件からresonancesの量子化条件を導く.本科学研究費による研究では,特に平衡点の近傍でのWKB解の接続問題を考察した.ポテンシャルの非退化な最大点の近くでのWKB解の挙動は,対応する古典力学系の平衡点の近傍でのHamilton流の構造と深く関わっている.ところが平衡点はHamilton流の特異点であるから,ここでは相関数,振幅関数が特異性をもち,WKB解は漸近解としての意味を持たない.そこでわれわれは時間に依存するScrodinger方程式のWKB解のLaplace変換として解を積分表示することを考えた.すると,この時間に依存したWKB解は,空間変数に関しては平衡点の近傍で解析的である.この積分の漸近展開を計算することによって,平衡点からはなれた軌道上で定義された時間に依存しないWKB解の間の接続公式が得られた.

我们使用WKB方法进行了一项关于共振的半经典分布的研究。特别是，我们今年解决了一个多维问题。从某种意义上说，共鸣被定义为Schrodinger操作员的复杂特征值，与相应的经典力学系统的捕获的轨道密切相关。当捕获的轨道集由单个同型轨道组成时，我们试图研究共振的半经典分布，以及J.F-Bony，T。Ramond和M. Zerzeri。该方法是在一维情况下确切有效。我们使用超本地WKB分析而不是WKB方法。换句话说，我们在相位空间中高级构造WKB解决方案，并沿同型轨道连接该WKB解决方案。当轨道返回同一点时，共振的量化条件是从与原始溶液一致的条件中得出的。在这项研究中，我们检查了WKB解决方案在平衡点附近的连接问题。势不一致的最大点附近的WKB解决方案的行为与相应的经典力学系统平衡点附近的汉密尔顿流动的结构密切相关。但是，由于平衡点是汉密尔顿流动中的奇异点，因此相位和振幅函数具有奇异性，并且WKB解决方案没有作为渐近溶液的意义。因此，我们将解决方案的积分表示为时间依赖的Scrodinger方程的WKB解的拉普拉斯变换。该时间依赖性的WKB解决方案在空间变量的平衡点附近进行了分析。通过计算该积分的渐近扩展，我们在与平衡点分离的轨道上定义的时间无关的WKB溶液之间获得了连接公式。