New develpment of spectral and inverse scattering theory-Non linear problems and continuum limit

光谱与逆散射理论的新进展-非线性问题与连续极限

基本信息

批准号：
20K03667
负责人：
磯崎洋
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Ritsumeikan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

半空間における弾性波動方程式の定常問題の解の漸近展開を完成した。境界表面のみを這うレーリー波を半空間全体を伝わる実体波と同じ位相によって観測することが中心課題であり、この問題はレーリー波に関する長い間の懸案であった。また半空間の特性として解はある曲面上に特異性をもち、その解析も困難であったが、精密なレゾルベント評価と定常位相の方法を用いた漸近解析により解決した。結果は専門誌に投稿中である。局所的に摂動された周期的格子の上のラプラシアンに関してメッシュサイズを0に近づける極限から連続系に対するシュレーディンガー方程式を導く連続体極限の問題を解決した。結果は学術雑誌に出版された。有限グラフ上のラプラシアンに対してそのスペクトルデータからグラフの構造を決定するゲルファントの問題を解決した。これは離散グラフの研究における如実な結果であり、学術雑誌に掲載の予定である。関連してグラフ上のランダムウオークに関する逆問題を解決し、これも専門誌に掲載予定である。多様体上の非線形波動方程式に関して基盤部分で大きな進展があった。特にペンローズのダイアグラムを用いてミンコフスキー空間をローレンツ多様体にうめこみ波動方程式を考える問題において大きな進展があった。この多様体上のダランベルシャンの本質的自己共役性を示しさらにレゾルベントに対する極限吸収原理を証明して固有関数展開等のスペクトル理論を発展させることができたのは大きな成果である。また非線形波動に関して逆散乱問題の研究を進め逆散乱理論の大枠を定めることにも目途がついた。これらの結果を学術雑誌に発表するための準備を行っている。漸近的なスラブ領域における波動方程式のS行列からスラブ領域を同定する逆問題の研究をスタートさせ、近年中の完成を目指している。

完成了半空间弹性波动方程稳态问题解的渐近展开。中心问题是观察仅在边界面上蠕动的瑞利波，其与在整个半空间中传播的体波具有相同的相位，而这个问题一直是瑞利波的一个长期存在的问题。另外，由于半空间的特性，解在某个曲面上存在奇异性，分析起来比较困难，但通过稳态相法的精确求解评估和渐近分析解决了这一问题。结果正在提交给专业期刊。我们解决了连续极限问题，该问题从局部扰动周期晶格上拉普拉斯算子的网格尺寸接近 0 的极限导出了连续系统的薛定谔方程。结果发表在学术期刊上。我们解决了根据光谱数据确定有限图上拉普拉斯算子结构的盖尔范德问题。这是离散图研究的明确结果，我们计划将其发表在学术期刊上。相关地，我们解决了关于图上随机游走的反问题，我们也计划在专业期刊上发表。流形上的非线性波动方程的基础已经取得了重大进展。特别是在将闵可夫斯基空间嵌入洛伦兹流形以及利用彭罗斯图计算波动方程的问题上取得了很大进展。我们能够证明达朗伯在该流形上的本质自共轭，证明了解析剂的极限吸收原理，并发展了本征函数展开等光谱理论，这是一项伟大的成就。此外，我们对非线性波的后向散射问题的研究也取得了进展，接近建立后向散射理论的总体框架。我们目前正准备在学术期刊上发表这些结果。我们已经开始研究从渐近板状区域波动方程的S矩阵识别板状区域的反问题，并计划在未来几年内完成。