結晶格子における離散シュレディンガー作用素の逆問題と連続体極限

晶格中离散薛定谔算子的反演问题和连续统极限

基本信息

批准号：
11J00110
负责人：
森岡悠
金额：
$ 0.77万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

项目摘要

2012年度は,六角格子など,非正方格子上の離散シュレディンガー作用素に対する逆散乱問題の研究に着手した.加えて,前年度正方格子上で証明したレリッヒ型定理について,連続スペクトル内に含まれていたしきい値について結果を一般化することに成功した.これにより,正方格子上においては,有限個の台を持つポテンシャルの場合に,離散シュレディンガー作用素の連続スペクトルの絶対連続性を示した.格子上の逆散乱問題に関しては,正方格子の場合に得られていたレリッヒ型定理,レゾルベントの空間遠方での漸近展開等を再度証明する必要がある.この典型的な場合として,まず六角格子の場合を中心に検討し,ほぼ肯定的な結果を得つつある.レリッヒ型定理は,ヘルムホルツ方程式の解の空間遠方での漸近的下限を与えるものであり,定常散乱理論のみならず,埋蔵固有値の非存在の証明にも応用できる.六角格子での結果は,結晶格子上の離散シュレディンガー作用素のスペクトル理論に広く適用可能な内容,及び格子形状を変えた場合に対する示唆を多く含んでいるように思われる.正方格子上のレリッヒ型定理とスペクトル,散乱理論については,連続スペクトル内部にある種の特異な性質を持つしきい値が存在し,そのエネルギーでの解析が課題であった.これは,離散ラプラシアンから導かれるフェルミ面が特異性を持つことに起因する.多変数複素関数論と代数幾何学の基本的結果を用いて,しきい値となるエネルギーにおけるレリッヒ型定理と埋蔵固有値の非存在については結果を得た.前年度の結果と合わせ,有限個の台を持つ場合については,離散シュレディンガー作用素の連続スペクトルが絶対連続であることを示した.

2012年，我们开始研究六方格子等非方格子上的离散薛定谔算子的逆散射问题。另外，关于前一年我们在方格子上证明的Relich型定理，我们研究了以下事实：我们成功地概括了关于阈值的结果，这表明在方形晶格上，对于具有有限数量支持的势，离散薛定谔算子的连续谱。对于晶格上的逆散射问题，需要再次证明方晶格情况下得到的Relich型定理、解算子在远空间的渐近展开等。这个典型的地方我们首先关注六方晶格的情况，并开始获得几乎肯定的结果。Relich型定理给出了远空间中亥姆霍兹方程解的渐近下限，它基于稳定散射如果只是理论的话。它还可以用于证明隐藏特征值的不存在。六方晶格的结果包含广泛适用于晶格上离散薛定谔算子的谱理论的内容，以及对于改变晶格形状的情况的许多建议。对于方晶格上的Relich型定理、光谱和散射理论，在连续光谱内存在具有某些特殊性质的阈值，并且在该能量处进行分析是困难的。这个问题是由于从离散拉普拉斯算子导出的费米面的奇异性，利用多变量复函数理论和代数几何的基本结果，我们可以计算阈值能量下的Relich，我们得到了关于类型定理和不存在的结果。结合前一年的结果，我们发现离散薛定谔算子的连续谱在支撑数有限的情况下是绝对连续的。