Research on the algebraic-geometric codes based on adelic vector bundles

基于adelic向量丛的代数几何码研究

• 批准号: 20K03544
• 负责人: 中島 徹
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Japan Women's University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03544/
• 关键词: 代数幾何符号; ベクトル束; adelic曲線; adelic符号; Seshadri定数; adelic ベクトル束; Arakelov幾何学

当研究の課題はadelic曲線によって定義される代数幾何符号の性質を解明することである。今年度に於いては、主にファイバー構造を持つ代数多様体とその上の直線束から定まる符号を考察し、以下の様な研究成果を得た。第一に、曲線上のベクトル束Eに付随した射影束P(E)内の二次超曲面束から定まる符号について研究をおこない、その最小距離に対してEのasymptotic minimal slopeを用いた下からの評価式を得ることができた。特に曲線の種数が1以下の場合には、この評価式をEの既約分解のデータによって具体的に計算することに成功した。この結果は、以前にEがp-半安定と仮定して得られた結果を任意のベクトル束に一般化するものとなっている。第二に、曲線上のアーベリアンスキーム(即ちアーベル多様体をファイバーとするsmoothなファイバー構造を持つ群スキーム)から定まる符号を考察し、適当なnef直線束の存在を仮定して符号の最小距離の下からの具体的評価式を得た。特にファイバーがアーベル曲面の場合には、Aubry達による因子の有理点に関する最近の結果を用いて曲面のトレースによる新しいタイプの最小距離の評価式を得ることにも成功した。第三に、標数0の閉体上定義されたn次元非特異射影多様体上の安定層のn-1次コホモロジー群の次元に対する上からの評価式を得た。これは以前に研究代表者が3次元の場合に得た結果を高次元に拡張するものである。また、この結果を用いて4次元射影多様体上の安定層の4次チャーン類の上限を与えるBogomolov-Gieseker型不等式を導くことができた。

本研究的目的是阐明由adelic曲线定义的代数几何代码的性质。今年我们主要考虑了由纤维结构和线丛的代数簇确定的码，得到了以下研究成果。首先，我们研究从附加到曲线上向量丛 E 的射影丛 P(E) 中的二次超曲面丛确定的符号，并从底部使用 E 的渐近最小斜率作为最小距离。得到评价公式特别是当曲线的亏格小于1时，我们利用E的不可约分解数据成功地具体计算了这个评价公式。该结果概括了先前假设 E 对任意向量束 p 半稳定而获得的结果。其次，我们考虑从曲线上的阿贝尔格式确定的代码（即，具有光滑纤维结构的群格式，以阿贝尔流形作为纤维），并假设存在适当的 nef 线丛来找到我们从下面得到了具体的评估公式。特别是，当纤维是阿贝尔曲面时，我们利用 Aubry 等人关于因素有理点的最新结果，通过追踪曲面，成功地获得了一种新型的最小距离评估公式。第三，我们从上面得到了在特征 0 的闭域上定义的 n 维非奇异射影流形上稳定层的 n-1 阶上同调群的维数的评估公式。这是主要研究者先前在三维情况下获得的结果向更高维度的延伸。此外，利用这个结果，我们能够导出 Bogomolov-Gieseker 型不等式，该不等式给出了四维射影流形上四阶 Chern 类稳定滑轮的上限。