Geometry from the viewpoint of quantization and duality

量子化和对偶性角度的几何

基本信息

批准号：
20K20877
负责人：
加藤晃史
金额：
$ 4.16万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-07-30 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

箙(quiver)とその変異(mutation)は，クラスター代数とともに，可積分系・低次元トポロジー・表現論・代数幾何学・WKB 解析などさまざまな分野に共通して現れる構造として注目を集めている．特に，箙の変異列 (mutation sequence) から系統的にゲージ理論や３次元双曲多様体を構成する方法が提唱され，その不変量を数学的に厳密に解析する手段の開発が必要となった．加藤は寺嶋郁二氏(東京工業大学)との共同研究において、与えられた箙変異の列 γ (quiver mutation loop = クラスター代数の exchange graph 上のループに相当)に対し、分配 q 級数 Z(γ) と呼ばれる母関数を定義したがこの考え方は、quiver mutation loop のような周期境界条件ではなく、初期条件のみを指定した有限区間 (quiver mutation sequence) に対しても適用可能である。この場合は終状態に対する自由端条件を表すために、 c-vector で次数付けされた非可換トーラスに値を持つ関数として考えるのが自然である。加藤は、寺嶋郁二氏と水野勇磨氏(ともに東京工業大学)との共同研究において、Boltzmann weight を q 二項係数とする分配関数(partition function)を導入し、その性質を調べた。この分配関数は、実は引数の異なる２つの分配 q 級数の比として書けることが証明できる。その結果、分配関数もまた分配 q 級数が持つ様々な良い性質を引き継いでいる。たとえば、 q 二項係数が満たす Stanley の関係式は、分配 q 級数がペンタゴン関係式を満たすことの帰結として導くことができる。

Quiver 及其突变体以及簇代数作为在可积系统、低维拓扑、表示论、代数几何和 WKB 分析等各个领域中常见的结构而备受关注。特别是，提出了一种从箭袋突变序列系统地构造规范理论和三维双曲流形的方法，因此有必要开发一种严格分析不变量的数学方法。在与 Ikuji Terashima（东京工业大学）的联合研究中，Kato 开发了一个分布 q 序列 Z(γ )，但这个想法也可以应用于仅指定初始条件的有限区间（箭袋突变序列），而不是比像箭袋突变循环这样的周期性边界条件。在这种情况下，为了表达最终状态的自由结束条件，很自然地将其视为一个函数，其值位于由 c 向量排序的非交换环面中。在与寺岛郁司和水野佑马（均为东京工业大学）的联合研究中，加藤引入了以玻尔兹曼权重为 q 二项式系数的配分函数，并研究了其性质。可以证明，这个配分函数实际上可以写成具有不同参数的两个分布q级数的比率。因此，配分函数也继承了分布q级数的各种良好性质。例如，q二项式系数所满足的斯坦利关系可以作为满足五角大楼关系的分布q级数的结果而导出。