場の量子論における繰り込みと弦理論の双対性

量子场论中重整化与弦论的对偶性

基本信息

批准号：
17654011
负责人：
加藤晃史
金额：
$ 2.05万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2005
资助国家：
日本
起止时间：
2005 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

1.AdS/CFT対応双対性(duality)とは、異なる自由度・作用汎関数・対称性・相互作用等を持った物理系が量子論としては全く等価になることを指す。特にAdS/CFT対応は、ゲージ理論と重力理論が実は同じ理論の二つの側面であるという大胆な予想であり、これを理解することは弦理論の最も重要な課題の一つである。AdS/CFT対応によれば、任意のN=1超共形対称4次元ゲージ理論に対応する5次元のSasaki-Einstein多様体Yが存在し、Yの幾何学がゲージ理論の物理に反映されると考えられている。ゲージ理論の場の演算子の厳密なスケーリング次元は、anomalyに由来するある多変数3次関数の最大化問題(a-maximization)として計算できる。しかしながら「解の存在と一意性」「不安定極値(鞍点など)の非存在」といった基本的な問題が未解決であった。双対性の検証のためにはdual geomctryを仮定せずにこれらを示す必要がある。quiver gauge理論の場合に上記3次関数がzonotopeと呼ばれる3次元凸多面体の体積として特徴付けられることを発見し、体積の関数の凸性(Bru-Minkowski不等式)を用いてこれらの性質を証明することができた。また異なる解の間の隣接関係(繰り込み群の流れ)についても新たな知見(単調減少性など)を得ることができた。2,Dixmier予想近年の非可換幾何学への関心の高まりに関連し、量子力学における最も基礎的な非可換環であるWeyl代数の構造が再び注目されつつある。Wey1代数=調和擬動子は場の理論の下部構造をなし、その構造を詳しく知ることは双対性を理解する上でも重要である。n次のWeyl代数A_n=A_n(K)とは、2n個の元p_j,q_i(i=1,…,n)で生成され、[p_i,q_j]=δ_ijを関係式とするK上の多元環のことであり、多項式を係数とする微分作用素のなす環と同型である。Weyl代数A_nは単純純環であることから、A_nの任意の自己準同型は単射である。Dixmier(1968)はA_1の構造を詳紬に調べ、いくつかの問題を提出した。その1つは『A_1の任意の自己準同型は自己同型であろうか?』というものである。この問題は長らく未解決であったが、n=1の場合を肯定的に解決できた。

1.AdS/CFT兼容对偶性是指具有不同自由度、作用泛函、对称性、相互作用等的物理系统在量子理论中是完全等价的。特别是，AdS/CFT对应关系是一个大胆的预测，规范理论和引力理论实际上是同一理论的两个方面，而理解这一点是弦理论最重要的挑战之一。根据AdS/CFT对应关系，任意N=1超共形对称4维规范理论都存在一个5维Sasaki-Einstein流形Y，Y的几何形状在规范理论的物理中得到体现。这么想。规范理论中场算子的精确标度维数可以计算为从异常导出的多元三次函数的 a 最大化问题。然而，诸如“解的存在性和唯一性”和“不存在不稳定极值（鞍点等）”等基本问题仍然没有解决。为了验证对偶性，有必要在不假设对偶几何的情况下证明这些。在箭袋规范理论中，我们发现上述三次函数被称为带位面的三维凸多面体的体积，并利用体积函数的凸性（布鲁-明科夫斯基不等式）证明了这些性质。能够做到这一点。我们还获得了关于不同解之间的邻接关系（重整化群流）的新知识（例如单调递减性质）。 2.迪克斯米尔猜想随着近年来人们对非交换几何的兴趣的增加，量子力学中最基本的非交换环韦尔代数的结构重新受到关注。 Wey1 代数 = 调和准解剖器构成了场论的子结构，详细了解其结构对于理解对偶性非常重要。 n 维 Weyl 代数 A_n=A_n(K) 是 K 上的多维元素，由 2n 个元素 p_j,q_i(i=1,…,n) 生成，具有关系表达式 [p_i,q_j]=δ_ij。是一个环，并且与系数为多项式的微分算子形成的环同构。由于韦尔代数 A_n 是简单的纯环，因此 A_n 的任何自同态都是单射的。 Dixmier (1968) 详细研究了 A_1 的结构并提出了几个问题。其中之一是“A_1 的任何自同态都是自同构吗？”这个问题长期以来一直没有解决，但是我们能够积极解决n=1的情况。