Research on vertex operator algebras by using Conway groups

利用康威群研究顶点算子代数

基本信息

批准号：
21K03195
负责人：
宮本雅彦
金额：
$ 2.5万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度では、昨年度から継続していた台湾中央研究院の　Lam Ching Hung 教授とネットによる共同研究だけではなく、台湾中央研究院に１か月ほど滞在し、その期間を通して、頂点作用素代数の自己同型および holomorphic 頂点作用素代数の分類に関する研究を行い、多くの進展を得た。特に、顕著な結果として、リーチ格子の自己同型群であるコンウエイ群を利用し、その中のある種の自己同型において、固定空間とそれへの射影による像との間にスカラー倍を持つ同相写像があることを見出だした。その応用として、N.Scheithauer-S.Moller が導入することで美し対応が存在することを示した、generalized deep holeと呼ばれるリーチ格子頂点作用素代数の自己同型の真の姿を見出すことに成功した。しかも、この結果により、それまで証明ができず、観察に過ぎなかった G.Hohn によるニイマイヤ格子の自己同型による固定空間と holomorphic 頂点作用素代数のウエイト１の空間が構成するリー代数のルート格子との関係を、この同相写像を通して明確に説明することに成功した。この結果は同時に、リーチ格子の自己同型群であるコンウエイ群の条件を満たす元とその自己同型で不変な deep hole により、すべての中心電荷２４の非ムーンシャイン型 holomorphic 頂点作用素代数が一意的な方法で構成できることも示しており、古典的な格子理論においてConway-Sloanが示したHolly construction の自然な拡張が複雑な頂点作用素代数においても成り立っているということを示している。また、上記の研究を通して、一般の中心電荷においてもholomorphic頂点作用素代数の場合には、rationality が正定値不変内積を持つ事実だけからでも得られることも証明した。

今年，除了去年以来一直在和台湾中央研究院林正鸿教授进行在线联合研究外，我还在台湾中央研究院待了一个月左右，期间研究了顶点算子代数的自同构我们对全纯顶点算子代数的分类进行了研究，并取得了很大进展。特别是，作为一个显着的结果，我们使用康威群，它是利奇晶格的自同构群，并且在其中的某些自同构中，我们发现固定空间和投影到其上的图像之间具有标量乘法的同胚。有。作为其应用，我们成功地发现了 Leach 晶格顶点算子代数自同构的真实形式，称为广义深洞，它由 N.Scheithauer-S.Moller 提出，并证明了美丽对应的存在。此外，这个结果表明，李代数的根格是由G. Hohn的Niimeyer格子自同构的固定空间和全纯顶点算子代数的权重1的空间组成的，这一点无法证明在那之前，这只是一个观察，我们成功地通过这种同胚清楚地解释了这种关系。该结果还表明，所有中心电荷 24 的非月光全纯顶点算子代数的唯一性在于，Leach 晶格的自同构群满足 Conway 群及其自同构和不变的深洞条件。康威-斯隆在经典格论中所展示的 Holly 结构的自然扩展也适用于复杂的顶点算子代数。通过上述研究，我们还证明了即使对于一般的中心电荷，在全纯顶点算子代数的情况下，也只能从其具有正定不变内积这一事实才能获得合理性。