頂点作用素代数のテーター関数の研究

顶点算子代数三函数的研究

基本信息

批准号：
10874001
负责人：
宮本雅彦
金额：
$ 1.34万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至 1999
项目状态：
已结题

项目摘要

頂点作用素代数の概念は現在、2次元共形場理論を代数化したものと理解されているが、2次元共形場理論がモジュラー不変形を仮定するのに対し、頂点作用素代数の公理には入ってはいない。しかしながら、ズーが証明したように、強いモジュラー不変性を示している。本研究は研究代表者の宮本がテーター関数の拡張となるものを頂点作用素代数の上で定義したのが出発点であり、後にその性質の研究から多変数のテーター関数へと拡張された。即ち、ランクnの頂点作用素代数Vに対して、次数作用素L(0)とウエイト1の元vを使ってトレイス関数ch(v,z)=tr|V exp(2πiL(0)z+v(0))を定義することが出来る。ラティスから構成される頂点作用素代数に対してこれを適用すると、一般的なテーター関数(のデデキントのエーター関数のn乗倍)が得られる。さらに、ヴィラソロ元の代わりに、共形元の直和を使うと、多変数のトレイス関数が頂点作用素代数から定義でき、それらに対して群の作用による不変性を求めることが本研究の目的である。前年度では、この関数のモジュラー変換の公式を示し、通常のテーター関数と同様にモジュラー不変の性質を持つことを示すとともに、より強い保形性が成り立つのではないかと期待された。最終年度である平成11年度ではその事実を考察し、多変数のテータ関数を導入することに成功した。しかも、その多変数のテータ関数が高い保型性を持つことも証明し、国際会議で発表した。これらの事実を考察すると、そこには頂点作用素代数のウエイト2の空間であるグライス代数の可換部分代数が関係しているように理解できる。この事実は頂点作用素代数のモジュラー不変性に関する新たな手段を提供するのではないかと期待できる。

顶点算子代数的概念目前被理解为二维共形场论的代数，但是二维共形场论假设模不变性，而顶点算子代数的公理包括它并不在那里。然而，正如 Zu 所证明的，它表现出很强的模不变性。这项研究的起点是首席研究员宫本，他定义了Theter函数在顶点算子代数上的扩展，后来通过对其性质的研究将其扩展为多元Theter函数。即，对于秩为n的顶点算子代数V，使用阶算子L(0)和权重为1的元素v，则迹函数ch(v,z)=tr|V exp(2πiL(0)z+ v(0)) 可以被定义。如果我们将其应用于由格子组成的顶点算子代数，我们将获得一个通用的 Theter 函数（Dedekind 的 Aether 函数的 n 次方）。此外，如果我们使用共形元素的直和而不是 Virasoro 元素，则可以从顶点算子代数定义多元迹函数，并且本研究的目的是找到它们由于群作用而具有的不变性。去年，我们提出了该函数的模变换公式，并表明它具有与普通Theter函数相同的模不变性，并且我们期望它具有更强的形状保持性。 1999 年，即该项目的最后一年，我们考虑到了这一事实，并成功引入了多元 theta 函数。此外，他在一次国际会议上证明了多元 theta 函数具有高刚性。考虑到这些事实，可以理解，涉及到了格莱斯代数的交换子代数，即顶点算子代数的权重为2的空间。我们可以预期这一事实将为顶点算子代数的模不变性提供一种新的手段。