準傾対象を用いた1次元岩永-Gorenstein環の表現論的研究

使用准倾斜物体的一维 Iwanaga-Gorenstein 环的表示理论研究

• 批准号: 21K03160
• 负责人: 山浦 浩太
• 金额: $ 1.16万
• 依托单位: University of Yamanashi
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03160/
• 关键词: 岩永-Gorenstein環; Cohen-Macaulay加群; 安定圏; 三角圏; 準傾対象; t構造; 変異

入射次元が1以下の正次数付き有限次元代数Aを次数付き1次元岩永-Gorenstein代数と呼ぶ。この代数の表現論における主要な研究対象は、次数付きCohen-Macaulay加群の圏、およびその安定圏SCM(A)である。安定圏は三角圏の構造を有している。本研究では三角圏を解析するための道具である準傾対象を用いて安定圏の構造解析を行う。本年度は以下の進展があった。Aの0次部分環が岩永-Gorensteinのとき、局所有限な次数付きCM加群の安定圏をL(A)と書く。L(A)は準傾対象を持つSCM(A)の三角部分圏である。本研究ではKoenig-Yangによって示された導来圏における準傾対象とt構造の1対1対応を参考に、L(A)の準傾対象とSCM(A)のt構造の対応を調べることを目的の1つに挙げている。これを特殊な自明拡大環のケースに考察した。Rを岩永-Gorenstein代数とし、Cを入射次元1の両側余傾加群とする。このとき、RのCによる自明拡大環Aは次数付き1次元岩永-Gorenstein代数となる。もしRの大域次元が有限ならば、SCM(A)と有限生成R加群の有界導来圏との圏同値が存在し、研究目的はKoenig-Yangの結果に帰着される。そのためRの大域次元が無限である場合に考察を行った。その結果、先に触れた圏同値の類似として、次の結果を得た。以下の(1)(2)を満たすSCM(A)の三角部分圏F(A)が存在する。(1)L(A)とF(A)は互いに直交する圏となっている。(2)F(A)によるSCM(A)のVerdier商は、有限生成R加群の有界導来圏と三角圏同値になる。しかも、F(A)の対象はCM R加群を用いて記述できる。この結果により、Rの大域次元が無限の場合でもRの表現論を参考にして研究を進めることが可能となった。

关联维数小于或等于 1 的正度有限维代数 A 称为一维有度 Iwanaga-Gorenstein 代数。该代数表示论的主要研究对象是Cohen-Macaulay有度模的范畴及其稳定范畴SCM(A)。稳定性类别具有三角形结构。在本研究中，我们使用准倾斜对象来分析稳定类别的结构，准倾斜对象是分析三角形类别的工具。今年取得了以下进展。当 A 的零阶子环为 Iwanaga-Gorenstein 时，我们将局部有限次 CM 模的稳定范畴写为 L(A)。 L(A) 是具有准倾斜物体的 SCM(A) 的三角形子范畴。在本研究中，我们参考推导中的准倾斜物体与 t 结构之间的一一对应关系，研究了 L(A) 中的准倾斜物体与 SCM(A) 中的 t 结构之间的对应关系。 Koenig-Yang 所示的类别被列为目标之一。这是在特殊的普通延长环的情况下考虑的。令 R 为 Iwanaga-Gorenstein 代数，C 为入射维度 1 的双面余斜模。在这种情况下，R 与 C 的平凡扩环 A 就​​变成了有次数的一维 Iwanaga-Gorenstein 代数。如果 R 的全局维数是有限的，则 SCM(A) 和有限生成的 R 模块的有界派生范畴之间存在范畴等价，我们的研究目的就简化为 Koenig-Yang 结果。因此，我们考虑R的全局维数为无穷大的情况。结果，我们得到了下面的结果，作为前面提到的类别等价的类比。 SCM(A)存在满足下面的(1)和(2)的三角子范畴F(A)。 (1)L(A)和F(A)是相互正交的范畴。 (2) SCM(A) 除以 F(A) 的 Verdier 商相当于有限生成的 R 模和三角范畴的有界导出范畴。此外，F(A)的目标可以使用CMR模块来描述。这一结果使得即使在R的全局维数无穷大的情况下，也可以以R的表示论为参考进行研究。

项目成果

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