高阶非线性偏微分方程图像模型及其基础算法

The methods based on partial differential equations and calculus of variations have been play more and more important roles in image processing such as denoising, segmentation, compression, inpainting, reconstruction and tracking. The corresponding PDEs are of second order or of higher order. Higher order nonlinear PDE image models have not only powerful processing effects which second order PEDs have no, but also strong nonlinear, degenerate and sometimes ill-posed. The aim of this project is mainly to investigate well-posedness and properties of solutions to several classes of important higher order nonlinear degenerate image equations, including positivity, evolution of support sets, estimates of nodal sets and regularity of solutions etc. We intend to study basic algorithms of higher order nonlinear equations, especially the fourth order equations. We will try to propose some useful and applicable efficient adaptive fast algorithms and approximate schemes and establish algorithm theory including convergence, error estimates and stability. We are also going to establish higher order PDE image models for target tracking and nonrigid registration and fusion, and investigate their solution properties and basic algorithm. These researches are not only very imortant to image processing but also very necessary to the areas of higher order nonlinear PDEs as well as to many other areas such as material science and geophysics.

基于偏微分方程和变分的方法在图像去噪、分割、压缩、修复、重建和目标跟踪等方面发挥了越来越不可替代的作用，对应的偏微分方程主要是二阶和高阶方程。高阶非线性方程图像模型一方面具有二阶方程模型所没有的图像处理效果，另一方面通常具有强非线性、退化、可能不适定等特点。本项目拟主要研究几类重要的高阶非线性退化图像方程解的适定性，解的性质如正性、支撑集的演化、零点集的估计和正则性等；探讨高阶非线性方程特别是四阶方程的基础算法，提出具有一定普适性的有效的自适应快速算法和逼近格式，建立相应的收敛性、精度和稳定性等算法理论；建立目标跟踪、非刚性配准和融合的高阶PDE图像模型，并研究解的性质和基础算法。开展这些问题的研究不光对图像处理具有重要的意义，而且无论是在非线性高阶方程的研究还是在其它应用领域如材料科学、地球物理等都是非常必要的。

由于具有可结合局部和整体的信息、定量刻画特征等，基于偏微分方程和变分的图像增强、分割、配准、融合以及图像着彩和去彩等模型在图像处理中发挥越来越重要的作用。偏微分方程和变分图像模型分二阶模型和高阶模型，高阶模型由于含有高阶偏导数、曲率等信息，在一些方面具有二阶模型所没有的优势，如降低阶梯效应、捕着更细致特征等； 但高阶模型通常具有强非线性、退化和可能不适定等特点。本项目主要研究图像增强、融合和分割中的（高阶）模型、理论和算法，到目前为止取得了如下的主要成果：（1）研究了高阶主要是四阶偏微分方程的相关理论，建立了一类用于图像去噪的四阶退化的非线性方程的适定性、有限传播速度和大时间行为，给出了一类四阶偏微分方程解的零点集、奇异集的测度估计和几何结构刻画；（2）提出并研究了含高阶偏导数的三类图像变分模型，分别对应于图像增强（去噪、去糊）、图像配准和图像融合，这三类模型的变分问题对应于四阶非线性偏微分方程，给出了问题解的适定性和高效算法，并证明了相应算法的收敛性等，并用数值实验和模拟验证了所提的方面在增强图像的同时降低了阶梯效应；（3）提出了图像着彩和去彩的变分模型和快速算法，证明了所提问题的解的存在性等，实验结果表明所提的方法比现有的几个相关的方法更加有效；（4）建立了几个处理医学图像分割的变分模型，并给出了快速算法；特别是在变分框架中加入边界算子、纹理特征、等周约束和先验形状约束等，使得所提的模型可以有效地分割医学图像中边界微弱/缺失、灰度不均匀等目标，通过量化评价和数值实验说明所提的模型和算法的优越性。

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