最优运输中几类非线性偏微分方程和变分问题的研究

结题报告

项目介绍

AI项目解读

基本信息

批准号：
11071119
项目类别：
面上项目
资助金额：
31.0万
负责人：
杨孝平
依托单位：
南京理工大学
学科分类：
A0304.椭圆与抛物型方程
结题年份：
2013
批准年份：
2010
项目状态：
已结题
起止时间：
2011-01-01 至2013-12-31

项目参与者：
郑敏玲；吕艳；金正猛；许飞；黄杰；蒋飞达；闵莉花；田龙；
关键词：
最优映射正则性最优运输 Monge-Ampere方程存在性

项目摘要

本课题拟深入研究最优运输中几类非线性偏微分方程和变分问题，运用偏微分方程、最优化理论、测度论和几何分析的思想和方法，对几类一般的费用(cost)函数和运输空间，建立相应的最优运输问题最优映射的存在性，给出经典的Monge问题解的唯一性条件，研究费用函数的势函数所满足的Monge-Ampère方程的解的性质，建立最优映射及其势函数的Sobolev正则性和几何刻画等。最优运输问题起源于古老的Monge问题，它不光与偏微分方程、变分学、微分几何、概率论、流体力学、动力系统和无穷维线性规划等紧密相关，而且在计量经济学、自动控制、统计物理、图像处理、城市规划、宇宙学和气象学等领域中有重要应用，已越来越引起人们的广泛关注和重视。开展本课题的研究，可进一步揭示最优运输问题中费用函数、运输区域和空间、最优映射之间的内在关系，丰富偏微分方程、变分学和几何分析的理论和应用。

结项摘要

研究了距离费用函数具有凸约束的最优运输问题，证明了2维情形具有严格凸约束的Monge问题的最优传输映射的存在性和唯一性，给出了存在性和唯一性的充分条件，之后得到了具有可数了平坦部分的凸约束的问题的存在性；证明了n维情形这类Monge-Kantorovich问题的最优传输映射的存在性；并通过构造具体的例子说明一般的凸约束运输问题的解没有唯一性。讨论了半球面上的质量传输问题，得到了Monge问题解的存在性和唯一性的充分条件。分别研究了最优传输问题所对应的Monge-Ampere型方程、Hessian方程的Dirichlet问题、斜微商问题,给出了解的直到二阶导数的先验估计，达到了经典解的存在性和唯一性。研究了Heisenberg群的H-调和函数和H-p-调和函数（即水平p-调和函数）。利用H-调和函数的频率函数，应用几何测度论和复分析理论，建立了H-调和函数的零点集的测度估计；定义了Heisenberg群上函数的水平奇异集和j水平奇异集，得到了Heisenberg群上的j阶水平齐次多项式的j水平奇异集的几何结构，从而建立H-调和函数的水平奇异集的几何结构。研究Heisenberg群上次p-Laplace方程和抛物型次p-Laplace方程和粘性解的渐近平均值公式，证明了粘性解和渐近平均值公式的等价性，建立了H-调和函数的增长性和次椭圆方程解的唯一延拓性。