非線形拡散方程式に現れる非自己相似的な特異性構造の研究

非线性扩散方程中非自相似奇异结构的研究

• 批准号: 13J06078
• 负责人: 関 行宏
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13J06078/
• 关键词: 半線形熱方程式; 調和写像流方程式; 爆発; Type II

今年度は研究計画に記載した①指数型非線形項を伴う半線形熱方程式②球面に値をとる調和写像流方程式における非自己相似的な爆発構造についての研究を行った。前者については非線形項が未知関数のべき乗である場合は指数がソボレフ劣臨界にあるとき、解の爆発率が後方自己相似解の爆発率と常に一致し(Type Iの爆発)、空間次元が11以上で非線形項の指数が十分大きいときにそれより速い爆発(Type IIの爆発)が起こり得ることが知られている。どちらの研究も非線形項が比較的簡単な形であることがその解析に利用されている。一方でもう一つの典型的な例として指数関数型の方程式が多くの研究者によって研究されているが、その場合はType IIの爆発解の存在は知られていなかった。当初の目的はべき型で知られているType II爆発解の構成を精密化し、指数関数型とべき型の両方を含む方程式に一般化することであったが、その過程で既存の研究ではべき型に限定しても未解明であったType IIの中では最も遅い爆発率と予想される特別な解を発見した。これは現段階では形式的な解析を含んでいるが、研究計画の段階では予想していなかった結果である。この発見により、すべての球対称爆発解の爆発率を決定できる可能性が高まった。並行して②球面に値をとる調和写像流方程式に対するType II爆発解の構成を行った。上記の研究法が応用可能であることは計画時に予想されていたことであるが、上述のような精密化された手法を利用できたので、予想を大きく上回る結果を得ることができた。調和写像流に対する爆発構造の研究は比較的進んでいないので、本研究はこの分野に大きなインパクトを与えることが期待できる。

今年，我们在研究计划中提出，在（1）带有指数非线性项的半线性热方程和（2）在球面上取值的调和映射流方程中进行了非自相似爆炸结构的研究。对于前者，当非线性项为未知函数的幂时，当指数处于Sobolev次临界点时，解的爆炸率始终与向后自相似解的爆炸率匹配（I型爆炸），并且空间维度为11。众所周知，当非线性项的指数足够大时，会发生更快的爆炸（II型爆炸）。这两项研究在分析中都利用了非线性项相对简单的形式。另一方面，作为另一个典型的例子，许多研究人员研究了指数方程，但在这种情况下，不知道II型爆炸解的存在。最初的目标是细化 II 型爆炸解的结构，已知该解具有幂类型，并将其推广到同时包含指数和幂类型的方程，但在这个过程中，现有的研究发现了一种特殊的解预计其爆炸速度是II型中最慢的，即使仅限于该类型，这一点也尚未阐明。虽然这包括现阶段的正式分析，但这是研究计划阶段没有预料到的结果。这一发现增加了确定所有球对称爆炸解的爆炸速率的可能性。同时，②我们构造了在球面上取值的调和映射流动方程的II型爆炸解。在计划时就预计上述研究方法将适用，但由于我们能够利用上述改进的方法，因此我们能够获得远远超出预期的结果。谐波映射流爆炸结构的研究相对不发达，因此这项研究有望对该领域产生重大影响。

项目成果

Formal asymptotic expansions in semilinear parabolic equations

半线性抛物型方程的形式渐近展开式

• 发表时间: 2014
• 作者: 関 行宏