退化型を含む非線形放物型方程式の爆発解の漸近挙動と曲面消滅問題の解析的研究

非线性抛物型方程爆炸解渐近行为的分析研究，包括简并类型和表面消失问题

基本信息

批准号：
08J08409
负责人：
関行宏
金额：
$ 0.77万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2009
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では、反応項を伴う退化非線形放物型方程式に関する解の爆発現象、及び、それと関連の深い曲面消滅問題を研究している。今年度は昨年度得られた曲面消滅問題についての研究に関する結果を論文の形にまとめ、国際専門雑誌に発表した。軸対称性を持つ非コンパクト曲面は、それに内接する円柱と同じ特異時刻を持つ場合、その円柱以外の如何なる曲面も、空間内部で千切れることがなく、無限遠でのみ特異性を発生させる。この結果はコンパクト曲面に関する既存の結果とは対称的である。論文として発表する際、関連事項として、解析半群論による初期値問題の時間局所可解性を加え、さらに無限遠でのquenching発生後の解の挙動に関して、2,3の考察を行った。また、今年度は吸収項付半線形熱方程式のdead-core(解の零点集合)発生時の解の漸近挙動に関しても考察した。これは研究課題にある退化型放物型方程式の爆発現象を変数変換により、吸収項付き非線形放物型方程式の研究に帰着させることを考慮している。漸近挙動は一般にある定常解付近から出発した解は漸近自己相似的にはなりえない。これはdead-coreのできる速さ(dead-core rate)が対応する常微分方程式のものより速いことから帰結されるが、接合漸近展開の方法を用いてある特殊解についてはその速さが正確に求められることを示した。この結果は論文としてまとめ、国際専門雑誌に投稿した(掲載決定)。

在本研究中，我们研究了带有反应项的简并非线性抛物型方程解的爆炸现象，以及与之密切相关的表面消失问题。今年，我们把去年获得的表面消失问题的研究成果以论文的形式总结出来，发表在国际专业期刊上。如果一个轴对称的非紧曲面与内切圆柱体具有相同的奇异时间，则圆柱体以外的任何曲面都不会在空间中被撕裂，只会在无穷远处产生奇点。该结果与紧凑表面的现有结果形成对比。当将此作为论文提出时，我添加了使用解析半群理论作为相关问题的初值问题的时间局部可解性，并且还对无穷大发生淬火后解的行为进行了一些考虑。今年，我们还考虑了带有吸收项的半线性热方程出现死核（解的零点集）时解的渐近行为。本研究认为，简并抛物型方程的爆炸现象这一研究课题可以通过变量变换简化为具有吸收项的非线性抛物型方程的研究。一般来说，渐近行为是指从某个稳态解开始的解不能渐近自相似。这是因为死核速度比相应的常微分方程更快，但对于使用联合渐近展开方法的某些特殊解，速度是准确的。结果总结为论文并提交给国际专业期刊（选定发表）。