New developments of hypergeometric functions and hypergeometric groups

超几何函数和超几何群的新进展

基本信息

批准号：
22K03365
负责人：
岩崎克則
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究では、超幾何関数とそこから派生する概念である超幾何群を研究対象とする。超幾何関数は、複素領域における微分方程式である超幾何方程式の解として定義され、その大域挙動や多価性はモノドロミー群によって測られる。モノドロミー群をモデルとして得られる群論的な概念が超幾何群である。本研究の目的の一つは、超幾何群とそれに付随する整格子（超幾何格子）の性質を研究し、それをK3 曲面上の力学系の研究に応用することである。これは、先の科研費研究課題で着想を得て研究を開始し、本研究課題で継続的に展開している研究テーマである。超幾何群の方法では、超幾何格子がK3格子となる場合を分類し、その場合に超幾何群の生成元を改変することによって、非射影的K3曲面と、その上の正エントロピーをもつ正則自己同型を多数構成することができる。この方法では、さまざまの操作が大規模ではあるが初等的な行列計算に還元できるので、K3力学系の性質を計算機に乗せて具体的に計算できるという利点がある。本年度は、旧研究課題から引き続き、特徴的な不変集合であるジーゲル円板をもつK3曲面自己同型の研究を行った。このような正則自己同型を許容するK3曲面のピカール数は、ある種の制限を受ける。本研究では、超幾何群の方法を用いて、可能なすべてのピカール数について、ジーゲル円板をもつK3曲面自己同型の存在を示すことができた。その過程で、ジーゲル円板の中心を探すために正則不動点公式を利用する必要があった。そのために、不動点公式に付随するグロタンディーク留数の計算方法を開発した。これらの成果をまとめたオリジナル論文が、本年度に受理出版された。

在本研究中，我们重点关注超几何函数和超几何群，它们是源自它们的概念。超几何函数被定义为超几何方程的解，超几何方程是复域中的微分方程，它们的全局行为和多价性通过单向群来测量。使用单数群作为模型获得的群论概念是超几何群。这项研究的目的之一是研究超几何群及其相关正则晶格（超几何晶格）的性质，并将其应用于K3表面动力系统的研究。这是我从之前的科研资助项目中得到想法后开始研究的一个研究主题，并且正在继续开发这个研究项目。超几何群方法对超几何晶格是 K3 晶格的情况进行分类，在这种情况下，通过修改超几何群的生成元，我们可以创建一个非射影 K3 表面和一个在其上具有正熵的正则自同构。可以构建。该方法的优点是可以将各种运算简化为大规模但初等的矩阵计算，并且可以在计算机上具体计算K3动力系统的性质。今年，我们延续了之前的研究课题，对带有西格尔盘的K3表面自同构进行了研究，这是一个特征不变量集。允许这种正则自同构的 K3 表面的皮卡德数受到一定的限制。在这项研究中，我们能够使用超几何群的方法证明所有可能的皮卡德数都存在具有西格尔盘的 K3 表面自同构。在此过程中，需要利用全纯不动点公式来寻找西格尔圆盘的中心。为此，我们开发了一种计算与定点公式相关的格洛腾迪克残差的方法。总结这些结果的原始论文今年已被接受发表。