Degeneration of abelian varieties and compactification of moduli

阿贝尔簇的退化和模的紧化

基本信息

批准号：
22K03261
负责人：
中村郁
金额：
$ 1.5万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

アーベル多様体のモジュライのコンパクト化に関連して、この1年間はネロン・モデルのコンパクト化の研究に取り組んだ。共著論文原稿は一旦完成して投稿したが、付帯条件のため掲載には不十分な成果、との評を得たので、その後の研究で付帯条件は不要となり、ほぼ最終的な改良を得た。剰余体の標数への制限はなくなり、また、モデルの一意性も証明できた。論文は前半と後半の2部に分け、前半部分は完全退化の場合を扱い、後半は部分退化の場合を扱う。前半は共著として完成しており、後半は筆者の単著とし現在執筆中である。完備離散付値環上のアーベル多様体$G_eta$に対してネロン・モデルが一意に定まることはよく知られている。研究期間に著しく進展したのは、このネロン・モデル$\cG$ のコンパクト化である。主要結果は以下のとおりである：$\cG$が半安定ならば、$\cG$のコンパクト化$(P,\cN)$で次の性質(i)-(iii)を持つものがただ一つ存在する：(i) 偏極が3次的 (ii) Cohen-Macaulayスキームで、(iii) $P\setminus\cG$が余次元2。前半部分で、完全退化の場合に退化データを構成し、Mumfordの構成方法を適用してコンパクト化を構成、Voronoi 多面体によってコンパクト化の具体的な記述を与えた。後半部分では、部分退化の場合に退化データを構成し、Mumfordの構成方法を適用する。後半の本質的に重要な部分は完成しているが、証明と構成の細部、および関連する結果の完成にもうしばらく時間を要する。並行して以下を証明し、論文を準備中である：fppf位相で定義された前層は帰納的極限により層とすることができる。fppfでの通常の帰納的極限は集合論的に問題があり、その点を克服した。

结合阿贝尔流形模的紧致化，这一年来我一直致力于Neron模型的紧致化研究。合着论文的手稿曾经完成并提交，但由于附带条件，结果被认为不足以发表，所以在后续的研究中，不再需要附带条件，几乎达到了最终的改进。。我们对余数域的特征不再有任何限制，并且我们也证明了我们模型的唯一性。论文分为上半部分和下半部分。第一部分处理完全退化的情况，第二部分处理部分退化的情况。前半部分已作为合著者完成，后半部分目前由作者作为单独作者撰写。众所周知，Neron 模型是在完全离散估值环上针对阿贝尔变量 $G_eta$ 唯一确定的。研究期间，Neron模型$\cG$的紧凑化取得了重大进展。主要结果如下：如果 $\cG$ 是半稳定的，则具有以下性质 (i)-(iii) 的 $\cG$ 的紧化 $(P,\cN)$ 仅有一个： (i ) 极化是三次的，(ii) Cohen-Macaulay 方案，并且 (iii) $P\setminus\cG$ 的余维数为 2。第一部分构造了完全简并情况下的简并数据，应用Mumford构造方法构造了紧化，并利用Voronoi多面体对紧化进行了具体描述。在第二部分中，我们构造部分简并情况下的简并数据并应用Mumford的构造方法。虽然后半部分的本质部分已经完成，但要完成证明和构造的细节以及相关结果还需要一些时间。与此同时，我们正在准备一篇论文，证明以下内容：由 fppf 拓扑定义的前层可以通过归纳极限制成一层。 fppf 中常见的归纳极限在集合论方面存在问题，我们克服了它。