非ケーラー的複素多様体の研究

非凯勒复流形的研究

• 批准号: 61540003
• 负责人: 中村 郁
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1986
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1986 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-61540003/
• 关键词: 【P^3】; 3次元射影空間; 位相同型; 大域的変形; 【VII_0】型曲面

予定した2次元非ケーラー的複素多様体では見るべき進展はなかったが、3次元複素多様体に関するある古典的問題について著しい進展があった。問題:n次元複素多様体は、【P^n】と位相同型ならば【P^n】と解析的に同型か?この問題は、n=2の場合及びn一般で多様体がケーラー的な場合、小平一ヒルゼブルフ及びヤウの研究により、肯定的に解決されている。 然しながら、n=3の場合でもケーラー性を仮定しなければ難問である。 得られた結果は以下の通り。定理1.3次元複素多様体は次の条件を満たす時、【P^3】と解析的に同型。【H^1】(X,【θ_x】)=0,PicX=L(生成元L),【L^3】>0,【K_x】=-dL(dは4以上の整数)ある正整数mに対し、dim【H^0】(X,mL)【=!>】2この定理1の系として、定理2 3次元複素多様体Xは、【H^1】(X,【θ_x】)=0,ある正整数mに対してdim【H^0】(X,mL)【=!>】2 かつ【P^3】と位相同型であれば 【P^3】と解析的に同型定理3.代数次元3,小平次元【=!<】2 かつ【P^3】と位相同型ならば【P^3】と同型定理4.【P^3】の大域的変形は【P^3】と同型。定理1の証明ではケーラー性を仮定していないために、小平の消滅定理を用いることが出来ない。これが問題の解決を困難にしている理由であるが、定理1の証明でそれを避けたことにより、その証明は正標数の時も適用されるものになった。従って、定理1は3次元既約完備非特異代数多様体で、正標数の場合にも正しい。今後は同様の議論を 3次元2次超曲面、3次超曲面の場合にも適用したいと考えている。

尽管在计划的二维非凯勒复流形上没有取得重大进展，但在涉及三维复流形的某些经典问题上取得了重大进展。问题：如果一个n维复流形与[P^n]拓扑同构，那么它与[P^n]解析同构吗？Kazuhiro Kodaira、Hilsebruch和Yau的研究已经肯定地解决了这个问题。 然而，即使在n=3的情况下，除非假设卡勒性质，否则这也是一个难题。 得到的结果如下。定理 1. 当满足以下条件时，3 维复流形在解析上同构于 [P^3]。 [H^1](X,[θ_x])=0,PicX=L(生成器L),[L^3]>0,[K_x]=-dL(d为大于等于4的整数) 有正整数 m 来说，dim[H^0](X,mL)[=!>]2 作为此定理 1、定理 2 的推论三维复流形 X 为 [H^1](X,[θ_x])=0，dim[H^0](X,mL)[=!>]2 且 [P ^3] 解析同构于[P^3]定理3.代数维数3，小平维数[=!<]2而如果它与[P^3]拓扑同构，则[P^3]同构定理4。[P^3]的全局变换与[P^3]同构。定理1的证明不假定卡勒性质，因此不能使用小平消失定理。这就是问题难以解决的原因，但是通过在定理1的证明中避免它，该证明也适用于正特性。因此，定理1对于具有正特征的3维不可约完全非奇异代数簇也成立。将来，我们希望将类似的论点应用于 3 维二次超曲面和三次超曲面。