勾配流による結び目のエネルギーの解析

梯度流引起的结能量分析

基本信息

批准号：
17J01429
负责人：
石関彩
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Chiba University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-26 至 2020-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2017年度に、一般化されたO’Haraエネルギーの分解定理についての論文を執筆し投稿した。その結果を利用すると、一般化されたO’Haraエネルギーに対する余弦公式を導く事が出来ることが分かった。一般化されたO’Haraエネルギーに対する余弦公式は、メビウス・エネルギーの場合に知られる余弦公式を含むものであり、エネルギー密度のメビウス不変部分とそうでない部分を明瞭に見分けることができる。既存のエネルギーの別表現であり、メビウス不変でないエネルギーがメビウス不変性とどのくらい乖離しているかを表すものである。もう一つの結果は、分解されたメビウス・エネルギーに関するものである。メビウス・エネルギーはメビウス変換によってエネルギーを変えない事がその名前の由来である。エネルギーの分解は、それぞれがメビウス不変性をもち、変分公式の導出やその評価が、元のエネルギーから直接計算するよりはるかに容易に行えるようになった。分解は、元のエネルギーを2つのエネルギーと定数に分けるものである。以前の論文では、分解エネルギーのメビウス不変性の証明は、第1エネルギーのその性質を調べることで示され、第2エネルギーのメビウス不変性は第1エネルギーと元のエネルギーのそれらから間接的に示した。第2エネルギーは、そのエネルギー密度が第1エネルギーのそれより複雑であるからである。今年度の研究は、第2エネルギーについて、そのエネルギー密度を別の視点からとらえることで、分解エネルギーの各点評価、連続度評価などを行った。特に、第2エネルギーのメビウス不変性を直接証明する方法を見出した。この新たな視点から眺めると、むしろ第1エネルギーの方が扱いにくい部分もある事が見えてきた。

2017年，我撰写并提交了一篇关于广义奥哈拉能量分解定理的论文。利用这些结果，发现可以推导出广义奥哈拉能量的余弦公式。能量的广义奥哈拉余弦公式包括已知的莫比乌斯能量的余弦公式，并且可以清楚地区分能量密度的莫比乌斯不变部分和非莫比乌斯不变部分。它是现有能量的另一种表达，它表达了非莫比乌斯不变的能量偏离莫比乌斯不变的程度。另一个结果涉及分解的莫比乌斯能量。莫比乌斯能量这个名称源自这样一个事实：能量不会通过莫比乌斯变换而改变。每个能量分解都具有莫比乌斯不变性，使得推导和评估变分公式比直接从原始能量计算要容易得多。分解是将原始能量分解为两种能量和一个常数。在之前的论文中，通过检查第一能量的性质证明了分解能的莫比乌斯不变性，并从第一能量和原始能量 Ta 中间接证明了第二能量的莫比乌斯不变性。这是因为第二能量的能量密度比第一能量的能量密度更复杂。在今年的研究中，我们从不同的角度看待二次能源的能量密度，评估了每个点的分解能量和连续程度。特别是，我们找到了一种直接证明第二能量莫比乌斯不变性的方法。从这个新的角度来看，我发现第一能量的某些方面更难以处理。