勾配流を用いた結び目のエネルギー最小元の存在と非存在に関する研究

利用梯度流研究结中最小能量元的存在与不存在

基本信息

批准号：
15J09156
负责人：
石関彩
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2017-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

メビウス・エネルギーは、ユークリッド空間内の結び目の標準形を決まるためのエネルギーとしてO’Haraが導入したエネルギーの一つで、メビウス変換によって不変である事がその名前の由来となっている。特にスケール変換によって不変であるため、通常の最小化列の方法で、与えられた結び目型内でのエネルギー最小元を探索する事が出来ない。1994年にFreedmann-He-Wangによって、素結び目型においてはエネルギー最小元の存在が示されたが、その際用いられた性質がメビウス不変性である。一方、素でない結び目型においては、数値実験などを根拠にエネルギー最小元は存在しないであろうと予想されている（Kusner-Sallivan予想）が、解決されていない。そのために、メビウス・エネルギーについては、多くの研究者の興味の対象となっている。解析学の立場からメビウス・エネルギーをより扱いやすい部分に分解できないかを考察し、ある分解定理を得た。個々の分解エネルギーもメビウス不変性を保っており、元のエネルギーが持つ幾何学的な性質は壊していない。また、それぞれの分解エネルギーに対する第1変分・第2変分公式を得た。元のエネルギーに対する変分公式に導出よりはるかに見やすいものになっており、様々な関数空間における評価も得られやすい形に整理する事が可能である。今年度は、分解エネルギーの第一変分公式の L2表現に関する成果が学術誌に公表された。メビウス・エネルギーの第一変分公式の L2表現では、その主要部に分数冪ラプラシアンが現れる。分解エネルギーについても、第1エネルギー・第2エネルギーの双方の第一変分公式の L2表現に分数冪ラプラシアンが主要部に現れる。これは、第1エネルギー・第2エネルギーの一方が主で他方が従であるというような関係ではない事を意味する。

莫比乌斯能量是奥哈拉引入的能量之一，作为确定欧几里得空间中纽结的标准形式的能量，其名称来源于莫比乌斯变换保持不变的事实。特别是，由于尺度变换是不变的，因此不可能使用通常的最小化序列方法来搜索给定结类型内的最小能量元素。 1994年，Freedmann-He-Wang证明了不相交结型中存在最小能量元，当时使用的性质是莫比乌斯不变性。另一方面，在非素结类型中，根据数值实验预测不存在最小能量元（Kusner-Sallivan猜想），但这一点尚未得到解决。因此，莫比乌斯能量成为许多研究人员感兴趣的课题。从分析的角度，我考虑了莫比乌斯能量是否可以分解成更容易管理的部分，并得到了分解定理。各个分解能量也保持莫比乌斯不变性，原始能量的几何性质没有被破坏。我们还获得了每个分解能的第一和第二变分公式。原始能量的变分公式比推导更容易理解，并且可以将其排列成易于在各种函数空间中获得评估的形式。今年，关于分解能一阶变分公式的L2表达式的结果发表在学术期刊上。在莫比乌斯能量的一阶变分公式的L2表达式中，其主要部分出现了分数幂拉普拉斯算子。关于分解能量，对于第一能量和第二能量，分数幂拉普拉斯算子出现在第一变分公式的L2表达式的主要部分中。这意味着该关系不是第一能量和第二能量中的一个占主导地位而另一个处于从属地位的关系。