低次元トポロジー、特に、結び目のエネルギーの研究

低维拓扑研究，特别是结能量

• 批准号: 07740068
• 负责人: 今井 淳
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Tokyo Metropolitan University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740068/
• 关键词: 結び目理論; 低次元トポロジー; 結び目のエネルギー

修論以後「結び目のエネルギー」について研究している。結び目のエネルギーとは、結び目の空間上に定義された実数値汎関数で、結び目が自己交差しようとすると無限大に発散するようなもので、荷電した結び目の静電エネルギーを、数学的にうまく定義したものである。この結び目のエネルギーを結び目理論、及び低次元トポロジーに応用するのが研究の主目的である。近年では特に次の問題を中心に考えている:各結び目型に、エネルギーの最小を与えるような埋め込み写像は存在するか?結び目の入る全空間かR^3で、素な結び目については、Freedman,He,Wangの結果より、肯定的に解けることが分っている。又、素でない結び目については、Kusner-JSullivanのコンピューターによる数値実験で、否定的な予想が成り立つ。私は以前、別の種類のエネルギーを用いると、先の問題は結び目型如何に依らずに肯定的に解けることを示した。今年は、結び目の入る全空間が3次元球面S^3又は3次元双曲空間H^3の場合について研究している。S^<13>の場合は全ての結び目型について肯定的に、H^3の場合には逆に全ての結び目型について否定的に解決されると予想している。数学的にちゃんと証明出来ていない段階であるので、コンピューターを用いた数値実験を行ない、作業仮説を立てている状態である。現在以下のことが分ってきた。(但し、これも数学的に証明出来た訳ではない、)R^3の結び目に対して定義されたエネルギーをS^3及びH^3の結び目に対して定義する場合、2通り方法がある。(電荷密度一定と、総電荷一定に相当する)それぞれで、エネルギーを減らす方向に結び目を動かしていった場合の挙動が異なるということが予想出来る。

自从完成硕士论文以来，他一直在研究“结的能量”。结的能量是在结空间上定义的实值函数，当结试图自相交时，它会发散到无穷大。我研究的主要目的是将这种结能量应用到结理论和低维拓扑中。近年来，我一直在特别思考以下问题：是否存在一个嵌入映射，可以为每种结类型给出最小能量？对于不相交的结，结的整个空间为R^3，以及Freedman，He，Wang的结果表明可以积极解决。此外，对于非素数结，Kusner-JSullivan 的计算机数值实验中的负面预测也是成立的。我之前表明，通过使用另一种类型的能量，无论结类型如何，都可以积极解决上述问题。今年，我们研究的是结进入的整个空间是三维球体S^3或者三维双曲空间H^3的情况。我们期望对于所有结类型，S^<13> 的情况都将得到正向解析，相反，对于所有结类型，H^3 的情况都将得到负向解析。由于我们尚未能够在数学上正确证明这一点，因此我们目前正在使用计算机进行数值实验并制定工作假设。我现在发现了以下情况。 （但是，这也尚未在数学上得到证明。）有两种方法可以定义为 S^3 和 H^3 结的 R^3 结定义的能量。 （对应于恒定的电荷密度和恒定的总电荷）我们可以预期，当结沿能量减少的方向移动时，行为会有所不同。