正規新谷Ｌ関数の研究と代数的整数論への応用

正规Shintani L函数的研究及其在代数数论中的应用

基本信息

批准号：
13J07323
负责人：
佐藤信夫
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013-04-01 至 2015-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

平成26年度は、代数体のアーベル拡大に付随する部分ゼータ関数の値についてのザギエ氏の予想の精密化の研究を進めた。具体的には、ザギエ氏が虚2次体のアーベル拡大の部分ゼータ関数の正整数点での値の精密化として定義した量が新谷L関数の負整数点での偏微分値と本質的に一致することを示した。これによって複素素点が一つであるような代数体の適当な条件を満たすアーベル拡大の場合にザギエ氏の定義した精密版の部分ゼータ値を定義し、予想を定式化した。このようなゼータ値の精密化は、多変数の新谷L関数の研究によって系統的に理解が進んできており、古典的な部分ゼータ値からは得られない数論的情報を含むため非常に重要と考えられる。また新谷L関数の研究において、代数的な扇から新谷L関数を対応付けるために新谷コサイクルが有用である。新谷コサイクルはこれまで総実な代数体の場合にのみ知られており、同様の方法は複素素点を持つ代数体に適用できない。広瀬氏(京都大学)との共同研究において、非常に一般的な設定からスタートすることで、一般の代数体の場合に有効な新谷コサイクルを構成する方法を考案した。この方法は総実代数体の場合にも、既知のものを含むより広い新谷コサイクルのクラスを与える。新谷L関数は次数が1の場合古典的なフルビッツレルヒゼータ関数に他ならない。川島氏(大阪大学)、広瀬氏(京都大学)との共同研究で、多重対数関数の特殊値の無理性に関するニキーシン氏の結果を、複数のフルビッツレルヒゼータ関数値が張るQベクトル空間の次元の下からの評価へと一般化した。ここで用いた手法は比較的汎用性が高く類似した他の問題に対しても応用が期待できるため、意義深いと考えられる。

2014年，我们研究了Zagier对伴随代数域膨胀的部分Zeta函数值的预测进行了研究。具体而言，他表明，Zagier将其定义为值的量化的数量在想象二次次数的Abelian Zeta伸展的正整数上的细化基本上与Niitani L函数的负整数的部分差异值一致。这定义了Zagier定义的精确版本的部分Zeta值，在Abelean扩展的情况下，该值满足有一个复杂点的代数字段的适当条件，并提出了预测。通过研究多变量Shintani L函数，对Zeta值的这种完善已系统地改善，并且被认为非常重要，因为它包含了无法从经典的部分Zeta值获得的数值信息。此外，在Shintani L功能的研究中，Shintani Cocycle对将代数风扇的Shintani L功能有用。到目前为止，Niitani Cocycle仅在总代数场的情况下才知道，并且不能将类似的方法应用于具有复杂点的代数场。在与Hirose（京都大学）的联合研究中，我们设计了一种构建Niitani Cocycle的方法，该方法是从一般的一般环境开始的。该方法还提供了更广泛的Niitani Cocycles，包括已知的Cocycles，即使是对于总真实代数也是如此。 Shintani L功能不过是经典的Furwitzlerchzeta功能，当时该顺序为1。这里使用的方法被认为是有意义的，因为它相对用途广泛，可以预期将其应用于其他类似的问题。