パンルヴェ方程式を中心とした可積分系の研究

以Painlevé方程为中心的可积系统研究

基本信息

批准号：
22K03348
负责人：
坂井秀隆
金额：
$ 2.25万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03348/
关键词：
パンルヴェ方程式差分方程式特殊函数超幾何函数

项目摘要

東京大学の細井竜也氏と準備していた共著論文が京大数理研講究録別冊にアクセプトされた.この内容について報告する.リゾヴィーらによって得られていた第6パンルヴェ方程式の解の級数表示は，級数の収束も分からないままであったが，2021年の細井氏の修士論文で，級数の(原点近傍における)収束が示された.細井氏の結果は，パンルヴェ方程式に限らず，函数の満たす斉次2次微分方程式の特異点における最低次の項の形がある条件を満たすという仮定の下に示されたものであった.この形の方程式を，特異点において H 型であると呼ぶことにする.我々は，t = 0, 1, 無限大，のみを特異点に持ち，そのいずれもが H 型である4階斉次2次微分方程式の形を(簡単なある仮定の下) 決定した.これは第6パンルヴェ方程式を含むものである.この結果については，新しい微分方程式のクラスを提案するものであり，今後の発展についても期待できるものであると思う.ここで提案された方程式が，パンルヴェ性などのよい性質を持つものなのかということには興味がある.線型微分方程式の変形理論との関係も同様である.また，第6パンルヴェ方程式の新しい特徴づけにもなると考えられる.今後の拡張としては，特異点の数を増やした場合，特異点を合流した場合などの問題が考えられる．そのほか，線型差分方程式の積分変換に関する理論についてや，4次元離散力学系についての具体例の計算など，考察を続けている．

与东京大学的细井龙也先生共同撰写的论文已被京都大学数学研究所研究记录特卷接收。我们将报道这一内容。第六 Painlevé 方程解的级数表示Rizovy 等人获得，尽管该系列的收敛性仍不清楚，但 Hosoi 先生于 2021 年进行了修复在他的论文中，他证明了级数的收敛性（在原点附近），Hosoi的结果不仅限于Painlevé方程，而且还表明齐次二次微分方程的奇点处存在满足的最低阶项的形式。由函数可知，在满足条件的情况下。这种形式的方程可以在奇点处表示。我们将其称为 H 型，我们定义四阶齐次二次微分方程的形式，该方程仅在 t = 0、1 和无穷大处具有奇点，并且全部都是 H 型，如（简化）（下）某些假设）这个结果包括了第六个Painlevé方程。这个结果提出了一类新的微分方程，我认为它在未来是可以期待发展的。这里提出的方程是，具有良好的性质，如painlevé性质。我感兴趣的是是否是这样。与线性微分方程的变形理论的关系也类似。它也被认为是第六个 Painlevé 方程的新表征。作为未来的扩展，我们将考虑如果增加点的数量或合并奇点，则可能会出现问题。另外，我还在继续考虑线性差分方程的积分变换理论和4维离散动力系统的具体例子的计算。