Algebraic analysis of deformations of non-isolated singularities, computational complex analysis and algorithms

非孤立奇点变形的代数分析、计算复杂性分析和算法

• 批准号: 22K03334
• 负责人: 田島 慎一
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Niigata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03334/
• 关键词: 非孤立特異点; 変形族; ホロノミーD-加群; アルゴリズム; local cohomology; 局所コホモロジー; 特異点変形

代数解析の理論に基づくことで, 特異点の複素解析的諸性質を研究している。研究では特異点に対し多項式環, 収束冪級数環におけるイデアルを考察し様々な操作を施すことで特異点の複素解析的性質や不変量を求めることを行う。ホロノミーD-加群と呼ばれる偏微分方程式系を研究するため, 偏微分作用素やPBW代数等の非可換環におけるイデアルを扱う。さらに, ホロノミーD-加群の解析にlocal cohomologyを用いる。さて, 特異点変形族の研究では, これらのイデアルに変形パラメータが含まれ, その構造はパラメータに依存することになる。イデアルの構造がパラメータにどのように依存しているかを決定するために, 包括的グレブナ系(comprehensive Groebner system), 包括的スタンダード系(comprehensive standard system)の理論と計算アルゴリズムを用いている。Comprehensive systemの考え方に基づくことで, 特異点の複素解析的不変量を求める様々なアルゴリズムを導入し, 改良を加え, 数式処理システムへのプログラムの実装を行っている。孤立特異点をもつ超曲面変形族に関しては, 有理関数体を係数にもつcomprehensive standard systemの概念を導入し, Bertini型の複素解析的不変量を求める新たな枠組みを創った。孤立していない特異点を持つ超曲面に対し, それに付随するホロノミーD-加群の構造を研究している。ホロノミーD-加群の構造を解析する際, local cohomologyを用いるが, local cohomologyを扱う上で, ネター作用素が重要となる。本研究で, 零次元の準素イデアルに対するネター作用素を求めるアルゴリズムを数式処理システムに実装した。

基于代数分析理论，我们正在研究奇点的复杂分析性质。在我的研究中，我考虑奇点的多项式环和收敛幂级数环中的理想，并执行各种操作以确定奇点的复杂解析属性和不变量。为了研究称为完整 D 模的偏微分方程组，我们处理非交换环中的理想，例如偏微分算子和 PBW 代数。此外，局部上同调用于分析完整 D 模。目前，在奇点变形族的研究中，这些理想包括变形参数，其结构取决于参数。为了确定理想的结构如何取决于参数，我们使用综合Groebner系统和综合标准系统的理论和计算算法。基于综合系统的思想，我们引入了各种寻找奇点的复杂解析不变量的算法，对其进行了改进，并在数学公式处理系统中实现了程序。针对具有孤立奇点的超曲面变形族，我们引入了系数为有理函数域的综合标准系统的概念，并创建了寻找Bertini型复解析不变量的新框架。我们正在研究与具有非孤立奇点的超曲面相关的完整 D 模的结构。局部上同调用于分析完整 D 模的结构，Noether 算子在处理局部上同调中很重要。在本研究中，我们实现了一种算法，用于在数学公式处理系统上查找零维拟素数理想的 Netter 算子。

项目成果

一般次元の準素イデアルのネター作用素とホロノミーD-加群

一般维数拟素理想的Noether算子和完整D模

• 发表时间: 2023
• 作者: 鍋島克輔;田島慎一;田島慎一
• 通讯作者: 田島慎一

Noetherian operators of positive dimensional ideals and hypersurface singularities

正维理想和超曲面奇点的诺特算子

• 发表时间: 2022
• 作者: 鍋島克輔 ;田島慎一
• 通讯作者: 田島慎一

Effective algorithms for computing Noetherian representations of zero-dimensional ideals

计算零维理想的诺特表示的有效算法

• DOI: 10.1007/s00200-022-00570-7
• 发表时间: 2023
• 期刊: Aplicable Algebra in Engineering, Computation and Computing
• 作者: 重松 潤;尾形 明子;伊藤 義徳;伊藤亜矢子;Chihiro Kemuriyama & Olivia C. OGAWA;K. Nabeshima and S. Tajima
• 通讯作者: K. Nabeshima and S. Tajima

多項式函数のbifurcation setの計算法 I

多项式函数I分叉集的计算

• 发表时间: 2022
• 作者: 田島慎一;鍋島克輔
• 通讯作者: 鍋島克輔

A deterministic method for computing Bertini type invariants of parametric ideals

计算参数理想Bertini型不变量的确定性方法

• 发表时间: 2022
• 作者: Tajima Shinichi;Nabeshima Katsusuke
• 通讯作者: Nabeshima Katsusuke