Randomization of persistent homology and its interaction with Schubert calculus

持久同源性的随机化及其与舒伯特微积分的相互作用

基本信息

批准号：
20H00119
负责人：
平岡裕章
金额：
$ 28.7万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H00119/
关键词：
パーシステントホモロジーシューベルトカリキュラスランダムトポロジーランダム化シューベルト計算材料科学大数の法則大偏差原理マルチパラメータ・パーシステントホモロジー両側シューベルト分解シューベルト・カルキュラス

项目摘要

繰越研究に相当する本テーマではおもにパーシステントホモロジーの確率論的研究を実施した。ランダムトポロジーの問題として、大数の法則、中心極限定理、大偏差原理といった代表的な極限定理を証明することに成功し、それらに関する論文を執筆して投稿まで完了させた。より具体的には、ユークリッド空間内の方体集合に対して、適切な仮定を満たすランダムネスを各方体に与えることでランダム方体複体およびそのフィルトレーションモデルを定義し、それらに対してパーシステント図の極限的振る舞いを調べた。なお極限は方体複体が有限型になるように適当な窓で制限をかけ、その窓のサイズを無限大にする極限として定式化している。特に今年度の成果としては、大数の法則および大偏差原理について比較的緩い仮定のもとで、満足のいく形での定理を証明することに成功した。この際に開発したいくつかの手法は今後ランダムトポロジーの分野で重要になってくると思われる。そのなかでもパーシステント図をラドン測度とみなし、ラドン測度の空間における大偏差原理を証明する際に開発した方法論は、射影極限やベッチ数の空間サイズ依存性を精密に調べる手法となっており、同様の方法論によって例えばランダム幾何学モデル（ユークリッド空間内のランダム点過程から作られる幾何モデル）への拡張なども可能にする重要な結果だと考えている。また大数の法則と大偏差原理を同様の設定で議論できるように問題を整理したことも、極限定理を包括的に取り扱う際のボトルネックを浮き彫りにさせることに繋がり、その意味において重要な一歩であると考えている。

在这个与结转研究相对应的主题中，我们主要对持久同源性进行概率研究。作为随机拓扑问题，他成功证明了大数定律、中心极限定理、大偏差原理等代表性极限定理，并撰写并提交了有关这些主题的论文。更具体地说，对于欧几里德空间中的一组立方体，我们通过赋予每个立方体满足适当假设的随机性来定义随机立方体复合体及其过滤模型，然后我们研究持久图的极端行为。该极限被表述为平方复数被适当的窗口限制为有限类型并且窗口的大小变为无限的极限。特别是今年的结果是，我们在关于大数定律和大偏差原理的相对宽松的假设下，成功地令人满意地证明了一个定理。相信此时开发的一些方法将在未来的随机拓扑领域变得重要。其中，通过将持久图视为氡气测度来证明氡气测度空间大偏差原理而开发的方法，是一种精确研究投影极限和贝蒂数的空间尺寸依赖性的方法。重要的结果使我们能够使用类似的方法将该方法扩展到例如随机几何模型（从欧几里得空间中的随机点过程创建的几何模型）。另外，将问题安排在同一背景下讨论大数定律和大偏差原理，也揭示了综合处理极限定理的瓶颈，从这个意义上说，这是重要的一步。事实就是如此。