Global study of nonintegrable distributions from the view point of the h-principle

从h原理角度研究不可积分布的全局

• 批准号: 22K03305
• 负责人: 足立 二郎
• 金额: $ 2.33万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03305/
• 关键词: 積分不可能な接分布構造; Cartan分布; ホモトピー原理

本研究の大きな目的は，多様体上の幾何構造に関する「幾何学的」研究と「トポロジー的」研究をの関連を追求することである．考察のアイディアや証明の方針として，ホモトピー原理の考えかたをが鍵になると想像している．2022年度に行った研究では(3,5)-分布とそれに関連する幾何構造に関して，考察をした．特に，閉多様体上での構造の存在や分類は微分トポロジーにおける自然な興味である．(3,5)-分布とは，５次元多様体上の最も積分が不可能な階数３の接分布構造である．すなわち，５次元多様体上の各点に３次元の接部分空間を対応させる接分布構造であり，１回のLieかっこ積でその多様体の接束になるものである．これは，ロケットの制御や机上を転がるボールのモデルとして現れる構造である．またCartanの(2,3,5)分布や，特殊多重旗構造と呼ばれる幾何構造の一部分とも考えられる．(3,5)－分布に関しては，５次元閉多様体でその接束が自明な３次元部分束を持つことが存在の必要十分条件であることが分かった．また分類に関しては，５次元多様体を固定した時に，２つの(3,5)－分布が形式的構造としてホモトピックであれば，(3,5)－分布としてホモトピックであることが分かった．ここで形式的構造とは，階数３の接分布構造とその上の１次独立な２つの2形式のことである．すなわちこの形の研究は，多様体上の幾何構造が多様体の位相的な性質に影響することを意味している．さらに，トポロジーと微分幾何学の相互作用による双方の発展のみならず，制御理論への寄与も期待できる．そして，2022年度中に研究対象を関連する他の接分布構造へ拡大させている．研究の一部は国内外の研究者たちとの共同研究として進めている．

这项研究的主要目的是探索流形上几何结构的“几何”和“拓扑”研究之间的关系。我想同伦原理的思想将是考虑思想和证明政策的关键。在 2022 年进行的研究中，我们考虑了 (3,5)-分布及其相关的几何结构。特别是，闭流形上结构的存在和分类是微分拓扑的天然兴趣。 (3,5)-分布是最可积的 5 维流形上的 3 阶正切分布结构。换句话说，它是一种切线分布结构，其中五维流形上的每个点对应一个三维切线子空间，一个李括号积成为流形的切丛。这是一种用于控制火箭或在桌子上滚动的球的模型的结构。它也被认为是嘉当 (2,3,5) 分布或称为特殊多旗结构的几何结构的一部分。对于(3,5)-分布，我们发现它存在的充要条件是它是一个5维闭流形，其切丛有一个平凡的3维子丛。关于分类，我们发现当五维流形固定时，如果两个(3,5)-分布作为形式结构是同伦的，那么它们作为(3,5)-分布也是同伦的．这里的形式结构是指3阶的切线分布结构及其之上的两个线性独立的形式。换句话说，对这种形式的研究意味着流形上的几何结构影响着流形的拓扑性质。此外，我们不仅可以期待拓扑学和微分几何通过它们的相互作用而发展，而且还可以对控制理论做出贡献。到 2022 年底，我们将研究范围扩大到其他相关的切线分布结构。一些研究是与日本和国外的研究人员合作进行的。

项目成果

Existence and Classification of certain non-integrable distributions

某些不可积分布的存在性和分类

• 发表时间: 2023
• 作者: 足立 二郎;Jiro Adachi
• 通讯作者: Jiro Adachi

(3,5)分布からCartan(2,3,5)分布へ，存在と分類

从(3,5)分布到嘉当(2,3,5)分布、存在与分类

• 发表时间: 2023
• 作者: 足立 二郎

University of Warsaw(ポーランド)

华沙大学（波兰）