Global study of nonintegrable distributions from the view point of the h-principle

从h原理角度研究不可积分布的全局

• 批准号: 22K03305
• 负责人: 足立 二郎
• 金额: $ 2.33万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03305/
• 关键词: 積分不可能な接分布構造; Cartan分布; ホモトピー原理

本研究の大きな目的は，多様体上の幾何構造に関する「幾何学的」研究と「トポロジー的」研究をの関連を追求することである．考察のアイディアや証明の方針として，ホモトピー原理の考えかたをが鍵になると想像している．2022年度に行った研究では(3,5)-分布とそれに関連する幾何構造に関して，考察をした．特に，閉多様体上での構造の存在や分類は微分トポロジーにおける自然な興味である．(3,5)-分布とは，５次元多様体上の最も積分が不可能な階数３の接分布構造である．すなわち，５次元多様体上の各点に３次元の接部分空間を対応させる接分布構造であり，１回のLieかっこ積でその多様体の接束になるものである．これは，ロケットの制御や机上を転がるボールのモデルとして現れる構造である．またCartanの(2,3,5)分布や，特殊多重旗構造と呼ばれる幾何構造の一部分とも考えられる．(3,5)－分布に関しては，５次元閉多様体でその接束が自明な３次元部分束を持つことが存在の必要十分条件であることが分かった．また分類に関しては，５次元多様体を固定した時に，２つの(3,5)－分布が形式的構造としてホモトピックであれば，(3,5)－分布としてホモトピックであることが分かった．ここで形式的構造とは，階数３の接分布構造とその上の１次独立な２つの2形式のことである．すなわちこの形の研究は，多様体上の幾何構造が多様体の位相的な性質に影響することを意味している．さらに，トポロジーと微分幾何学の相互作用による双方の発展のみならず，制御理論への寄与も期待できる．そして，2022年度中に研究対象を関連する他の接分布構造へ拡大させている．研究の一部は国内外の研究者たちとの共同研究として進めている．

这项研究的主要目的是追求关于流形几何结构的“几何”和“拓扑”研究之间的关系。我认为关键是如何将同义原则作为考虑思想和证明政策。在2022年进行的一项研究（3,5） - 分布和相关的几何结构。特别是，封闭流形的结构的存在和分类是差异拓扑的自然利益。 （3,5）分布是五维流形上订单3的切向分布结构，最不可能集成。换句话说，它是一个切线分布结构，与具有3维切线子空间的5维歧管上的每个点相对应，而一个谎言括号乘积成为歧管的切线束。这是一种作为火箭控制的模型或桌子上滚动的结构。它也可以被认为是Cartan（2,3,5）分布的一部分，并且是一种称为特殊多型结构结构的几何结构。 （3,5） - 尊敬的分布，发现存在五维封闭的歧管，其具有三维的部分束，其切线很明显。关于分类，当固定五维流形时，发现两个（3,5）分布是同型作为形式结构的同型，则（3,5） - 分布是同型的（3,5） - 分布。在这里，形式结构是指等级3的两个切线分布结构和上面的两个主要独立形式。换句话说，该形式的研究意味着流形的几何结构会影响流形的拓扑特性。此外，预计不仅可以通过拓扑和差异几何形状的相互作用来发展，而且还将有助于控制理论。此外，研究主题将在2022财政年度扩展到其他相关的切线分布结构。与日本和国外的研究人员共同研究，其中一些研究正在进行。

项目成果

Existence and Classification of certain non-integrable distributions

某些不可积分布的存在性和分类

• 发表时间: 2023
• 作者: 足立 二郎;Jiro Adachi
• 通讯作者: Jiro Adachi

(3,5)分布からCartan(2,3,5)分布へ，存在と分類

从(3,5)分布到嘉当(2,3,5)分布、存在与分类

• 发表时间: 2023
• 作者: 足立 二郎

University of Warsaw(ポーランド)

华沙大学（波兰）