多様体上の接分布構造の微分トポロジー的研究とその応用

流形上切线分布结构的微分拓扑研究及其应用

• 批准号: 17740027
• 负责人: 足立 二郎
• 金额: $ 2.24万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740027/
• 关键词: 偶接触構造; 接触構造; 写像の特異点論; エンゲル構造; 相対的安定性; 接分布構造; 安定性; 積分曲線

多様体上の接分布構造を,微分トポロジー的な観点から研究しています.大域的または局所的,両方面からのアプローチを考えています.今年度は主に以下の二点について研究しました.一つは,偶接触構造に関する相対的なDarboux型定理についてです.もう一つは大域的なエンゲル構造に関するトポロジー確立への基礎的な研究です.偶接触構造に関する部分多様体に相対的なDarboux型定理の研究は,昨年度のエンゲル構造に関するものの延長上にあります.偶接触構造とは,偶数次元の多様体上の余次元が1の接分布構造で,最も積分不可能なものです.接触構造と比べ,1次元の構造を不変に保つ特性方向を持つことが異なります.一般論としては,偶数次元の多様体に埋め込まれた部分多様体に対して,単純な幾何的な制限は部分多様体にそった偶接触構造の芽を決定するには不十分で,代数的制限型の制限を決めれば芽は決定されます.さらに,どのような場合には幾何的な制限が偶接触構造の芽を決定するのに十分かを調べ始めました.まず部分多様体が余次元1の場合,そこへの偶接触構造の幾何的な制限は,ほとんどの場合,特異点を持った接触構造です.それらはMartinet, Zhiromirskii達によって分類されています.接触構造の次に単純なMartinet標準形の場合,偶接触構造の特性系と部分多様体の接触の次数を1に制限することによって幾何的制限で十分です.さらに,他の特異点,接触の次数へと研究を進行中です.大域的なエンゲルトポロジーへの基礎として,4次元多様体上の構造でエンゲル構造を生成するものを構成しました.これは,エンゲル構造がトポロジーの対象として扱いやすい他の構造と関係づけられれば,その構造の研究との相互作用により研究が進展することを目標としています.今回試している構造がよいものかどうかは,今後の研究課題です.

我正在从微分拓扑的角度研究流形上的正切分布的结构。我正在考虑从全局和局部两个方面进行研究。今年，我主要研究了以下两点：一是关于偶数的相对达布型定理。另一个是关于全球的联系结构。这是建立恩格尔结构拓扑的基础研究。偶接触结构相对于子流形的达布型定理的研究是去年恩格尔结构工作的延伸。偶接触结构是一种切线分布结构，具有维流形上 1 的余维，这是最可积的它与接触结构的不同之处在于它具有保持一维结构不变的特征方向。一般来说，对于嵌入偶维流形的子流形，简单的几何约束不足以确定偶接触的萌芽沿子流形的结构，代数类型的极限是此外，我们开始研究在什么情况下几何约束足以确定偶接触结构的芽。首先，如果子流形的余维为1，则其中偶接触结构的几何限制在大多数情况下是具有奇点的接触结构。他们是马丁内特，对于下一个最简单的 Martinet 标准形式的接触结构，通过将特征系统和偶接触结构的子流形之间的接触程度限制为 1，几何限制就足够了。此外，我们目前正在研究其他接触奇点和阶。结果，我们在四维流形上构造了一个结构，生成了恩格尔结构。这意味着，如果恩格尔结构可以与其他可以轻松视为拓扑对象的结构相关联，那么就可以与其他结构进行互操作我们的目标是通过这一行动推进研究。我们目前测试的结构是否良好是未来研究的主题。

项目成果

Integral curves for contact and Engel structures

接触结构和恩格尔结构的积分曲线

• 发表时间: 2007
• 期刊: Real and complex singularities, proceedings of the Australian-Japanese workshop
• 作者: 尾崎 学;梅垣 敦紀;梅垣 敦紀;Jiro ADACHI;Jiro ADACHI and Go-o ISHIKAWA;Jiro ADACHI
• 通讯作者: Jiro ADACHI

An open book type structure for Engel structures

恩格尔结构的开卷式结构

• 发表时间: 2007
• 作者: 尾崎 学;梅垣 敦紀;梅垣 敦紀;Jiro ADACHI;Jiro ADACHI and Go-o ISHIKAWA;Jiro ADACHI;Jiro ADACHI;足立 二郎;足立 二郎
• 通讯作者: 足立 二郎

Classification of horizontal loops in the standard Engel space

标准恩格尔空间中水平环的分类

• 发表时间: 2007
• 期刊: International Mathematics Research Notices 2007,no.3
• 作者: 尾崎 学;梅垣 敦紀;梅垣 敦紀;Jiro ADACHI
• 通讯作者: Jiro ADACHI

Classification of phase singularities for complex scalar waves and their bifurcations

复标量波及其分岔的相位奇点分类

• 发表时间: 2007
• 期刊: Nonlinearity 20
• 作者: koji Shimomura;Toru Kikuchi;D.-Z.Zeng;S.Miyoki et al.;G.Ishikawa
• 通讯作者: G.Ishikawa

On geometry of Engel structures

论恩格尔结构的几何

• 发表时间: 2007
• 作者: 尾崎 学;梅垣 敦紀;梅垣 敦紀;Jiro ADACHI;Jiro ADACHI and Go-o ISHIKAWA;Jiro ADACHI;Jiro ADACHI;足立 二郎;足立 二郎;足立 二郎
• 通讯作者: 足立 二郎