pursuing global essences of manifolds with geometric structures via special surgeries

通过特殊手术追求几何结构流形的全局本质

• 批准号: 17K05236
• 负责人: 足立 二郎
• 金额: $ 2.91万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17K05236/
• 关键词: Goursat 構造; トーラス手術; Goursat構造; 接分布構造; ホモトピー原理; 多重ラウンドハンドル; グルサ構造; 多重ラウンド手術; 接触構造; 柔軟性; エンゲル構造; トポロジー; 幾何学; 手術

本研究の大きな目的は，幾何構造に関する大域的微分トポロジーの統一理論の創生を目指すことにある．本研究では特に，接触構造，Engel構造の一般化としてのGoursat構造に関する考察を目標としていた．感染症のまん延により進行が遅れたが，すでに期間を延長していることもあり，この方面での考察は進んできた．その意味で，小さな枠から大きな枠への展開の研究にも着手しつつある．2022年度に行った研究では，トーラス手術を用いたGoursat多様体の研究を行った．そして，様々なタイプの接分布構造の考察へ，ホモトピー原理の視点から研究への可能性を探り，その道具の考察を深めた．Goursat構造とは，多様体上の2次元の平面場で，Lieかっこ積をとることで次元が1ずつ増えて，その多様体の接束全体まで次元が上がるものである．とくに多様体が3次元の場合は接触構造であり，4次元のときにはEngel構造とよばれる．接触構造，Engel構造の研究は発展を続ける分野である．Goursat構造の研究は，大域的な幾何学としては今後の発展が重要であると期待される．本研究の手段の1つは，通常のハンドルと高次元トーラスとの積の形をした多重ラウンドハンドルをもちいた多重ラウンド手術である．特に，Goursat構造の柔軟性を実現する手術の考察を行った．これはまさに接触トポロジーに通じるものであることが分かった．また，Goursat構造の存在等に関して，国際共同研究を進めている．接触構造，Engel構造に関しては先行研究がある．本研究は，高階のGoursat構造の場合について考察をしていて，低次元へのフィードバックには，この分野の研究の重要な展開が期待できる．研究集会「Singularity of Differential Maps and its Applications」を，本研究費のサポートのもとに行った．

这项研究的主要目的是创建一个关于几何结构的全局微分拓扑的统一理论。在这项研究中，我们特别致力于将接触结构和 Goursat 结构视为恩格尔结构的推广。由于传染病的蔓延，进展被推迟，但期限已经延长，并且在这方面已经取得了进展。从这个意义上说，我们也在开始研究从小框架扩展到更大的框架。在 2022 年进行的研究中，我们使用环面手术研究了 Goursat 流形。然后，我们探索了从同伦原理的角度考虑各种类型的切线分布结构的研究可能性，并加深了对工具的思考。 Goursat结构是流形上的二维平面场，通过取李括号积，维数增加一，将流形的整个切丛的维数增加。特别地，当流形是三维时，称为接触结构，当流形是四维时，称为恩格尔结构。接触结构和恩格尔结构的研究是一个不断发展的领域。 Goursat 结构研究的未来发展预计在全球几何方面具有重要意义。这项研究的方法之一是使用多轮手柄进行多轮手术，该多轮手柄是普通手柄和高维环面的产物。我们特别考虑了外科手术来实现 Goursat 结构的灵活性。事实证明，这与接触拓扑完全相同。我们还在对 Goursat 结构的存在进行国际联合研究。以前有关于接触结构和恩格尔结构的研究。这项研究考虑了高阶 Goursat 结构的情况，并且对较低维度的反馈有望成为该领域研究的重要进展。在这项研究经费的支持下，召开了题为“微分图的奇异性及其应用”的研究会议。

项目成果

接触構造とラウンド手術

接触结构和圆形手术

• 发表时间: 2018
• 作者: Koie Hideyuki;Itagaki Tomohiro;Sanada Katsunori;鳥居 猛;足立 二郎;足立 二郎
• 通讯作者: 足立 二郎

Technion(Israel)

以色列理工学院（以色列）

Goursat 手術の新術式

Goursat手术新方法

• 发表时间: 2018
• 作者: Koie Hideyuki;Itagaki Tomohiro;Sanada Katsunori;鳥居 猛;足立 二郎;足立 二郎;鳥居 猛;足立 二郎
• 通讯作者: 足立 二郎

最も積分不可能な(m,n)型奇数次元分布の存在と分類について

关于最可积(m,n)型奇维分布的存在性及分类

• 发表时间: 2022
• 作者: Koie Hideyuki;Itagaki Tomohiro;Sanada Katsunori;鳥居 猛;鳥居 猛;足立 二郎
• 通讯作者: 足立 二郎

Goursat ハンドルと手術について

关于 Goursat 手柄和手术

• 发表时间: 2019
• 作者: Koie Hideyuki;Itagaki Tomohiro;Sanada Katsunori;鳥居 猛;足立 二郎
• 通讯作者: 足立 二郎