力学系理論と代数的・複素解析的幾何学の相互連関的研究

动力系统理论与代数/复解析几何的相互关联研究

基本信息

批准号：
10J06037
负责人：
多羅間大輔
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2011
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究における平成23年度の研究実績をトピックスごとに述べる.なお,前年度に投稿した成木勇夫教授との共著"Some elliptic fibrations arising from free rigid body dynamics"はHokkaido Math. J.に受理された.1. 3次元回転群$SO(3)$上の測地線の力学系は,自由剛体の運動を記述する可積分系である.この力学系は$SO(n)$上の可積分測地流へと自然に拡張される.Marsden-Weinstein簡約により,この力学系はLie環$\mathfrak{so}(n)$上のEuler方程式で記述される.この力学系の平衡点の安定性解析についてはあまりよく知られていなかった.平成22年度にこの簡約力学系の座標型Cartan部分代数に含まれる平衡点の安定性解析を線形近似の方法により行った結果をT.S.Ratiu教授(スイス・EPFL)との共著論文にまとめていたが,エネルギー・Casimir法により非線形安定性条件を上の一部の平衡点について得た.2. 1.の$SO(n)$の可積分測地流はさらに$U(n)$上の可積分測地流へと拡張される.これについても平衡点の安定性解析を行った.具体的には,標準的なCartan部分代数に含まれるEuler方程式の平衡点の線形安定性を調べた.いくつかの場合には非線形安定性条件を得ている.3. 数学的には可積分系はLagrangeファイバー空間へと一般化される.そのうちLeung-Symingtonの導入した概トーリックLagrangeファイバー空間は比較的扱いやすい.また,このようなファイバー空間のモノドロミーは力学系の分岐現象を反映するため,盛んに研究されている.私は,K3曲面の概トーリックLagrangeファイバー空間(これを可積分な力学系とみてK3力学モデルという)を楕円曲面のWeierstraβ標準形を用いて具体的に構成した.さらに,物理学者・化学者B.Zhilinskii教授が提起していたある特別なモノドロミーをもつK3力学モデルの構成問題を上記の方法を用いて数学的な観点から考察し部分的な解決をあたえた.これについては,数理解析研究所講究録およびCent. Eur.J. Math.に論文が掲載または掲載決定している.

2011年的研究成果将按主题进行描述。另外，前一年提交的与Isao Nariki教授合作的论文“Some elliptic fibrations attempts to freeigid bodydynamics”被北海道数学所接收。 J..1。三维旋转群 $SO(3)$ 上的测地线动力系统是描述自由刚体运动的可积系统，该动力系统可以转化为 $SO(n)$ 上的可积测地线流。这自然是可扩展的。通过 Marsden-Weinstein 约简，该动力系统由李代数 $\mathfrak{so}(n)$ 上的欧拉方程描述。该动力系统平衡点的稳定性解为关于该分析，人们知之甚少。2010年，T.S.教授使用能量-卡西米尔方法获得了上述一些平衡点的非线性稳定条件。2．将步骤1中$SO(n)$上的可积测地流进一步推广到$U(n)$上的可积测地流。我们还为此进行了平衡点的稳定性分析。具体来说，研究了得到了标准嘉当子代数中欧拉方程的平衡点，在某些情况下得到了非线性稳定性条件。 3．在数学上，可积系统可以推广到拉格朗日纤维空间。其中，由Leung-Symington引入的近复曲面拉格朗日纤维空间相对容易处理。而且，这种纤维空间的单性是动力系统的分岔为了反映这一现象，人们积极进行了研究。是一个可积动力系统，称为K3动力模型），它是使用椭圆面的Weierstra β标准形式专门构建的。此外，我们还利用该方法开发了物理学家和化学家B.zhilinskii教授提出的特殊单律。如上所述，我们从数学角度考虑了K3动力学模型的构建问题，并提供了部分解决方案。这在数学分析研究所的Kokyuroku和Cent中进行了讨论。一篇论文已发表或已决定在 Eur.J Math 上发表。