モデル構造を用いた高次圏の理論による圏化の研究

基于高阶范畴论的模型结构分类研究

• 批准号: 15J07641
• 负责人: 吉田 純
• 金额: $ 1.6万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2015
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2015-04-24 至 2018-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15J07641/
• 关键词: 圏論; ∞圏; モノイダル圏; グラフィカル計算; crossed groups; オペラッド; 双対性; コボルディズム; 圏化; ホモトピー論; 幾何学

昨年度、圏のグラフィカル計算を幾何学的側面から記述できることを示した。具体的には、1次元の部分多様体を持つ2次元のコボルディズムのなす対称モノイダル圏の、ある部分構造の代数的記述が、代数的な圏のグラフィカル計算を与えることがわかった。この結果を高次の代数構造に持ち上げるため、本年度は次の二つの拡張を考えた。まず、上記のグラフィカル計算では、種数0の曲面上のオペレーションしか認めていなかったが、一般の種数を持つ場合に拡張した構造を考えた。これは、通常のグラフィカル計算に、付加的な対称性を課したものだと考えられ、例えば対称 pivotal 圏と呼ばれる代数構造は、この一般の種数を持つグラフィカル計算の例になる。一方、この他にも例はあり、その高次代数的な記述を得るために、モノイダル圏の対称性を研究した。これに関しての先行研究として、群オペラッドという概念が考えられていたが、これをより柔軟にしたものとして、crossed interval group に着目し、その分類を与え、その圏が表現可能であることを示した。さらに crossed simplicial group から crossed interval group を自由に生成する関手を構成し、具体的記述を与えた。これにより crossed simplicial group に関する多くの先行結果を crossed interval group の言葉によってモノイダル圏の対称性の中で論じることができるようになると期待される。別の拡張として、∞圏でのグラフィカル計算を考えた。具体的には、グラフィカル計算のオペラッドがコボルディズムから得られたことを利用し、これらの高次の情報を込めて代数的な記述を与えることができた。また、対称 pivotal ∞圏が例になることを示した。旅費を使い、いくつかの国際研究集会で発表した。

去年，我们表明可以从几何学角度描述该区域的图形计算。具体而言，已经发现，对对称单体球体的子结构的代数描述是由具有一维亚策略的二维同步性组成的，提供了代数球体的图形计算。为了将此结果提高到高阶代数结构，我们考虑了今年以下两次扩展。首先，在上面的图形计算中，仅观察到具有0种物种的表面上的操作，但是我们认为当物种数量的一般数量时，该结构已扩展。例如，这被认为是在具有其他对称性的普通图形计算上施加的，例如，一种称为对称枢轴球体的代数结构是具有该一般数量物种数量的图形计算的一个示例。另一方面，还有其他示例，为了获得高阶代数描述，我们研究了单体球体的对称性。对这个问题的先前研究是小组操作数的概念，但是作为一种更灵活的方法，我们专注于交叉的间隔组，并将其作为分类，表明可以表达该组的类别。此外，还构建了组织者从交叉简单组中自由生成交叉的间隔组，并给出了具体描述。希望这可以通过术语交叉间隔组在单型对称性中讨论许多以前的越野简单组结果。另一个扩展是∞区域中的图形计算。具体而言，我们能够使用从共同体获得的图形计算操作数来提供这些高阶信息的代数描述。此外，结果表明对称关键∞球是一个例子。他在几次国际研究会议上的演讲中度过了旅行费用。

项目成果

Cubical set とその変種の統一的構成

立方集及其变体的统一结构

• 发表时间: 2015
• 作者: 中川 純希;An Qi;石川 雄己;柳井 香史朗;保田 淳子;温 文;山川 博司;山下 淳;淺間 一;Jun Yoshida;Jun Yoshida;Jun Yoshida;吉田 純;吉田純;Jun Yoshida;Jun Yoshida;吉田 純
• 通讯作者: 吉田 純

Morse-Cerf theory in some relative situations

一些相关情况下的 Morse-Cerf 理论

• 发表时间: 2016
• 作者: 中川 純希;An Qi;石川 雄己;柳井 香史朗;保田 淳子;温 文;山川 博司;山下 淳;淺間 一;Jun Yoshida;Jun Yoshida;Jun Yoshida;吉田 純;吉田純;Jun Yoshida;Jun Yoshida
• 通讯作者: Jun Yoshida

Crossed groups and symmetries on monoidal categories

幺半群范畴上的交叉群和对称性

• 发表时间: 2017
• 作者: 中川 純希;An Qi;石川 雄己;柳井 香史朗;保田 淳子;温 文;山川 博司;山下 淳;淺間 一;Jun Yoshida;Jun Yoshida;Jun Yoshida;吉田 純;吉田純
• 通讯作者: 吉田純

On cobordisms of dimension 2 with strings

关于 2 维弦的协边

• 发表时间: 2017
• 作者: 中川 純希;An Qi;石川 雄己;柳井 香史朗;保田 淳子;温 文;山川 博司;山下 淳;淺間 一;Jun Yoshida;Jun Yoshida;Jun Yoshida
• 通讯作者: Jun Yoshida

Graphical calculus in symmetric monoidal (∞-)categories with duals

具有对偶的对称幺半群 (∞-) 类别中的图解演算

• 发表时间: 2017
• 作者: 中川 純希;An Qi;石川 雄己;柳井 香史朗;保田 淳子;温 文;山川 博司;山下 淳;淺間 一;Jun Yoshida;Jun Yoshida
• 通讯作者: Jun Yoshida