量子群の研究とモジュラー表現論への応用

量子群研究及其在模表示论中的应用

基本信息

批准号：
08J05306
负责人：
土岡俊介
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2009
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は引き続きヘッケ・クリフォード環の表現論をリー環論的側面から研究した。ヘッケ・クリフォード環は、対称群の群代数のスピン類似であるセルゲーヴ環の量子類似であり、対称群のモジュラー表現論と関係している。まずは昨年度証明した量子標数が偶数の場合にこれの(モジュラー分岐則などの)表現論が捩じれアフィンD型と関連するという定理を論文にまとめて発表した。これと2001年度に証明されたブランダン・クレシュチェフの結果(量子標数が奇数の場合のヘッケ・クリフォード環の表現論と捩じれアフィンA型の関連)から、本年度はヘッケ・クリフォード環に対するラスクー・ルクレール・チボン・有木型定理を目標に研究した。当初の目標は、ルクレールが2004年に提出した量子標数零でアフィン・ヘッケ・クリフォード環の既約表現と無限B型の標準双対基底が対応するという予想であったが、研究の途中でこの予想が修正を要することが明らかになった。これは、非対称型量子群の標準基底が必ずしも正値性を持っていないからである。このような現象をコバノブ・ラウダ・ルキエ代数でも確認した他、G2型の場合に双対標準基底と対応しない1176次元の既約表現も構成した。このような知見をさらに深めて、非対称量子群上に新しい基底を導入し、関連するヘッケ環上の表現論に応用することを今後の課題としたい。また昨年度に引き続き、アルチンモノイドの増大度関数についても研究した。特に、齋藤恭司氏が2008年に提出した増大度関数の分母の零点分布に関する3つの予想に取り組み、そのうちの1つについて安田正大氏らと共同でラマヌジャンの半テータ関数を用いて成果を得た。

今年，我们继续从李代数理论的角度研究Hecke-Clifford代数的表示论。 Hecke-Clifford 环是谢尔盖夫代数的量子类似物，谢尔盖夫代数是对称群的群代数的自旋类似物，并且与对称群的模表示论相关。首先，我发表了一篇关于我去年证明的定理的论文，该定理指出，当量子特性为偶数时，表示理论（例如模分岔定律）与扭转仿射D型有关。在此基础上以及Brandin-Kreshchev在2001年证明的结果（量子特性为奇数时Hecke-Clifford环的表示理论和扭转仿射A型之间的关系），今年我们将使用Hecke-Clifford环的Lascou-Leclerc方程他的研究针对的是Chibon-Ariki型定理。最初的目标是Leclerc在2004年提出的具有零量子特性的仿射-Hecke-Clifford代数的不可约表示对应于无限B型的标准对偶基的猜想，但在研究过程中，这个很明显，预测需要修改。这是因为不对称量子群的标准基不一定具有正值。除了在 Kobanobu-Lauda-Lequier 代数中证实这一现象之外，我们还构造了一个 1176 维的不可约表示，该表示在 G2 类型的情况下不对应于双标准基。我未来的工作将是进一步深化这方面的知识，引入非对称量子群的新基础，并将其应用于相关赫克代数的表示理论。接续去年，我们还研究了artin幺半群的生长函数。特别是，我们对斋藤恭二在2008年提出的增长函数分母零点分布的三个猜想进行了研究，并与安田雅宏等人合作，利用拉马努金的半θ函数得到了其中一个的结果。