圏論化を用いた量子群の研究とヘッケ環への応用

使用范畴论研究量子群及其在赫克代数中的应用

基本信息

批准号：
11J08363
负责人：
土岡俊介
金额：
$ 1.6万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

近年の圏論化を用いたモジュラー表現論の発展によって、正標数の対称群の群代数は、非自明な次数付き代数の構造を持つことが明らかになった(Brundan-Kleshchev, Invent. Math., 2011)。この次数によって、対称群のモジュラー表現論的不変量は精密化され、さらなる発展が期待されるが、まだ応用は知られていない。昨年度はこのような背景から、対称群の一般化カルタン不変量に関するKülshammer-Olsson-Robinsonの予想(Invent. Math., 2003)の次数付き版を昨年提唱した(Trans. AMS, 2014)。KOR予想そのものは上記論文を発表後にバーミンガム大のEvseev氏によって解決されたが、私の提唱した次数付き版は未解決のままである。本年度はEvseev氏と共同でこの問題に取り組み、予想の命題を素数冪から自然数へ一般化すること、そしてさらに小さい行列の予想へと還元することに成功した。また予想そのものの補強として、(クルル次元が2の)基礎環をいくつかの単項イデアル環に特殊化・局所化した場合に予想が正しいことを証明した。現在、さらなる補強を試みており、適当なところで公表したいと考えている。またこの予想のスピン版などの変種についても考察した。柏原・ルスティックによって導入された量子群の標準基底は、量子群が対称なディンキン図から定義される場合は幾何学的な構成法から非負構造定数を持つが、非対称なディンキン図から定義される場合は必ずしもそうではない。これについてはほとんど何も知られていなかったが、私は平成23年度に数理解析研究所の大型計算機を用いた計算によってG2とC3型の量子群の場合に負構造定数に関する興味深い予想を立てるに至った。今年度はこの予想を整理し、その間の含意関係を考察した。

随着最近使用范畴理论化的模表示论的发展，已经清楚的是，正特征对称群的群代数具有非平凡有序代数的结构（Brundan-Kleshchev，Invent.Math.，2011）。该顺序细化了对称群的模表示不变量，预计将导致进一步的发展，但目前尚不清楚其应用。在此背景下，去年我提出了关于对称群的广义嘉当不变量的 Külshammer-Olsson-Robinson 猜想（Invent. Math., 2003）的有序版本（Trans. AMS, 2014）。 KOR猜想本身被伯明翰大学的Evseev先生在发表上述论文后解决了，但我提出的有序版本仍然没有解决。今年，我们和Evseev先生合作研究了这个问题，成功地将素数幂猜想命题推广到自然数，并将其简化为更小的矩阵猜想。此外，作为对猜想的强化，我们证明了当我们将基本环（克鲁尔维数为2）特化并定域为多个一元理想环时，该猜想是正确的。我们目前正在努力进一步增强功能，并希望在适当的地点宣布它们。我们还考虑了这个猜想的变体，例如旋转版本。 Kashihara-Rustic 引入的量子群的标准基，当量子群由对称丁金图定义时，根据几何构造方法具有非负结构常数，但当由非对称丁金图定义时，则不一定。案件。对此几乎一无所知，但在 2011 年，我通过数学科学研究所的大型计算机的计算，对 G2 和 C3 型量子群的负结构常数做出了有趣的预测。今年，我们整理了这些预测并考虑了它们之间的含义。