シフト量子アフィン代数の表現論

移位量子仿射代数的表示论

基本信息

批准号：
21K03178
负责人：
和田堅太郎
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

前年度に引き続き, シフト量子アフィン代数の構造論, 及び表現論に関して研究した。前年度は, Ariki-Koike 代数 ((G(r,1,n)型の巡回ヘッケ代数) との間の Schur-Weyl 双対を構成し, その表現論や構造論に関する考察を行った。これは古典的な Schur-Weyl 双対, 及びその q-類似の自然な拡張となっており, シフト量子アフィン代数の表現圏における"テンソル圏" としての構造より得られるものであるが, Schur-Weyl 双対に現れるシフト量子アフィン代数の表現は(重要な部分を占めているはずであるが)非常に限られたものであるので, そこでの議論を一般の表現まで拡張するのに必要な事柄について整理を行った。まとまった結果を得るまでには至っていないが, シフト量子アフィン代数の表現圏の"テンソル圏" としての性質を調べるための方針を整理し, それらを行うのに必要となるいくつかの道具を得ることができた。また, 上記のSchur-Weyl 双対では, 限られたシフトしか用いておらず, 前年度はそのようなシフトに集中していたが, 今年度は一般のシフトに対しても, 対応すべきリー環を導入することができた。このことによって, より一般の設定でテンソル圏としての構造を調べる手段を大きく広げることができた。(一般にはリー環の表現圏の方がテンソル圏としての構造は理解しやすく, 量子群の表現圏の構造を調べる際に, 大きな手助けとなる)

继续去年，我们研究了移位量子仿射代数的结构论和表示论。去年，我们用 Ariki-Koike 代数（类型为 (G(r,1,n)) 的循环 Hecke 代数）构造了 Schur-Weyl 对偶，并考虑了其表示论和结构论。它是经典的Schur-Weyl对偶及其q-类比，并从移位量子仿射代数的表示范畴中的“张量范畴”结构中得到。由于 Schur-Weyl 对偶中出现的移位量子仿射代数的表示非常有限（尽管它应该占据重要部分），因此将讨论扩展到一般表示所需的表示非常有限，尽管我们还没有。达到了我们获得全面结果的程度，我们组织了一项政策来研究移位量子仿射代数的表示范畴作为“张量范畴”的性质。我们能够获得执行此操作所需的一些工具，并且在上述 Schur-Weyl 双重中，仅使用了有限数量的轮班，而去年我们重点关注此类轮班。我们也能够为一般转变引入相应的李环。（一般来说，李代数的表示范畴作为张量范畴更容易理解，并且可以在更一般的环境中研究量子群的表示范畴的结构。）这在研究时会有很大的帮助）